АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Пример выполнения типового расчета

Читайте также:
  1. F Продолжение выполнения задания
  2. F Продолжение выполнения задания
  3. F Продолжение выполнения задания
  4. F Продолжение выполнения задания
  5. II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
  6. X. примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
  7. Алгоритм выполнения задания
  8. Алгоритм выполнения прически
  9. Алгоритм расчета
  10. Алгоритм расчета дисперсионных характеристик плоского трехслойного оптического волновода
  11. Алгоритм расчета температуры горения
  12. Амортизация как целевой механизм возмещения износа. Методы расчета амортизационных отчислений.

Условие типового расчета.
Часть 1. Условие содержит матрицу оператора A: ­ ­ ­ .
Часть 2. Задано уравнение кривой второго порядка:
3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 – 6 x – 2 y = –4.

Выполнение типового расчета.
Часть 1. Найдем собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы:

Составим характеристическое уравнение (9.4)
| A – λE | = = 0
Раскрыв определитель и приведя подобные члены, получим уравнение третьей степени:

λ 3 – 10 λ 2 – 13 λ + 22 = 0­ ­ ­ (9.16)

В алгебре имеется теорема, утверждающая, что в приведенном уравнении произвольной степени, т.е. таком, в котором коэффициент при неизвестном в старшей степени равен единице, корни являются делителями свободного члена. Варианты настоящей работы составлены так, что собственные значения – числа целые, а, следовательно, они являются делителями числа 22.
Выписав эти делители ±1, ±2, ±11, ±22 – и подставляя их поочередно в уравнение (9.16) (для простоты расчетов начиная с меньших по абсолютной величине), найдем один из корней уравнения. В нашем случае λ = 1 – корень уравнения. Многочлен, стоящий в левой части уравнения (9.16) может быть разложен на множители:
λ 3 – 10 λ 2 – 13 λ + 22 = (λ – 1)(λ 2 + + q)
Неизвестные коэффициенты p и q квадратного трехчлена могут быть найдены, например, делением многочлена третьей степени на двучлен (λ – 1). Деление многочлена на многочлен осуществляется по правилам, аналогичным правилам деления многозначного числа на многозначное. Роль цифр высшего и низшего разрядов играют члены, содержащие переменную в высшей и низшей степенях. Перед делением члены делимого и делителя располагаются в порядке убывания степеней переменной:

Опишем процесс деления подробно.
1. Делим первый член делимого λ 3 на первый член делителя λ, результат λ 2 есть первый член частного.
2. Умножаем полученный член на делитель λ – 1, результат λ 3λ 2 подписываем под делимым.
3. Вычитаем члены результата из соответствующих членов делимого; сносим остальные члены делимого, получаем – 9 λ 2 – 13 λ + 22.
4. Первый член остатка – 9 λ 2 делим на первый член делителя, результат – 9 λ есть второй член частного.
5. Умножаем полученный второй член частного на делитель, результат – 9 λ 2 + 9 λ подписываем под первым остатком.
6. Вычитаем члены этого результата из соответствующих членов первого остатка; сносим оставшийся член первого остатка; получаем второй остаток – 22 λ + 22.
7. Первый член второго остатка – 22 λ делим на первый член делимого; результат -22 есть третий член частного.
8. Умножаем, полученный третий член частного на делитель, результат – 22 λ + 22 подписываем под вторым остатком.
9. Вычитаем члены этого результата из второго остатка, получаем нуль. Деление закончено.
Таким образом, разложив на множители левую часть уравнения (9.16), получили (λ – 1)(λ 2 – 9 λ – 22) = 0. Отсюда находим собственные значения линейного оператора
λ 1 = 1, λ 2 = – 2, λ 3 = 11.
Для нахождения соответствующих им собственных векторов необходимо решить однородные системы (9.5).
При λ = 1

Записываем расширенную матрицу системы и ищем решение по методу Гаусса:
.
Ранг матрицы коэффициентов равен 2, следовательно имеем одно свободное неизвестное, в качестве которого примем x 3.
Тогда решение запишется:
или . При .
Так как собственный вектор определяется с точностью до числового множителя, свободное неизвестное принимаем таким, чтобы координаты вектора были взаимно простыми целыми числами.
Аналогично находим собственный вектор , соответствующий собственному значению λ 2 = –2:
=>
.
Отсюда x 3 = 0. Следовательно, в качестве свободного неизвестного здесь нельзя брать x 3, так как оно фиксировано. Выбираем в качестве свободного неизвестного x 2, тогда решение запишется:
или . При x 2 = 1: .

Контроль расчетов:
Убедимся в ортогональности собственных векторов X 1 и X 2:
= 1 · (–1) + (–1) · 1 + 2 · 1 = 0.
Аналогично убеждаемся: = 0; ­ ­ = 0.
Система собственных векторов ортогональна.
Составим матрицу перехода T, столбцами которой являются найденные собственные векторы. Для окончательной проверки расчетов умножим матрицу A на T:

(9.17)

Каждый столбец полученной матрицы есть произведение матрицы A на соответствующий собственный вектор. Согласно определению собственного вектора это произведение должно быть равно произведению собственного числа на собственный вектор:
; ­ ­ ; ­ ­ .
Контроль подтвердил правильность расчетов.
Составленная матрица T является матрицей перехода к базису из собственных векторов. Матрица линейного оператора в базисе из собственных, векторов ищется по формуле (9.6). Найдем сначала матрицу T –1, являющуюся обратной матрицей T.
.
Контроль расчетов при нахождении обратной матрицы рекомендуем провести, перемножив матрицы T и T –1, так как, согласно определению, T · T –1 = E – единичная матрица.
Для нахождения A умножим T на матрицу A · T, найденную при контроле расчетов (9.17):
.
Результат расчетов согласуется с формулой (9.8).
Часть 2. Проведем исследование уравнения кривой второго порядка:

3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 – 6 x – 2 y = –4 (9.18)

Для приведения уравнения к каноническому виду необходимо перейти к базису из нормированных собственных векторов ē 1, ē 2 матрицы квадратной формы (9.11):
.
Находим собственные значения матрицы A, как корни характеристического уравнения (9.12):
| A – λE | = = 0.
Раскрывая определитель и приводя подобные члены, приходим к уравнению λ 2 – 6 λ + 8 = 0, корни которого λ 1= 4, ­ ­ λ 2 = 2.
Координаты собственных векторов находятся из решения однородных уравнений (9.13).
При λ 1 = 4 ­ ­ ­ ­ .
Откуда c 11 = c 21, ­ ­ c 21 є R. Полагая c 21 = 1, получим .
Аналогично находим второй собственный вектор:
λ 2 = 2 ­ ­ ­ ­ .
Откуда c 12 = – c 22, ­ c 22 є R. Полагая c 22 = 1, получим .
Убеждаемся, что найденные собственные векторы ортогональны между собой. Изобразим векторы и на плоскости в базисе векторов , (рис. 9.2).


Рис. 9.2 Собственные векторы в системе координат x, y


Поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки. Тем самым мы убеждаемся, что нумерация собственных векторов выбрана правильно, т.е. первый вектор , второй – . В противном случае, т.е. если бы указанный поворот совершался по часовой стрелке, нумерацию собственных векторов следовало бы поменять.
Для контроля расчетов составим матрицу T, столбцами которой являются найденные собственные векторы, и перемножим матрицы A и T:
.
Убеждаемся,
,
что подтверждает правильность расчетов.
Пронормируем найденные собственные векторы:
ē 1 = , ­ ­ ­ ­ ē 2 = .
Получили новый базис (ē 1, ē 2), получающийся поворотом старого на угол π / 4 против часовой стрелки. Старые координаты x, y в базисе , и новые x′, y′ в базисе ē 1, ē 2 связаны соотношениями (9.14):

­ ­ ­ ­ ­ ­ или ­ ­ ­ ­ (9.19)


Подставим (9.19) в уравнение кривой (6.10):
.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:
4 x′ 2 + 2 y′ 2 – 8 x′ + 4 y′ + 4 = 0,
что согласуется с формулой (9.15): коэффициентами при x′ 2 и y′ 2 стоят собственные числа 4 и 2. Сокращая на 2 и выделяя полные квадраты, получим
2(x′ – 1)2 + (y′ + 1)2 = 1 или .
Следовательно, уравнение (9.18) является уравнением эллипса с полуосями и 1 и центром в точке (1,–1) новой системы координат.
Чтобы изобразить полученную кривую в исходной системе координат, удобно рассчитать координаты характерных точек кривой в этой системе координат. Для этого рисуем кривую в новой системе координат X′O′Y′ (рис. 9.3).

 


Рис. 9.3 Полученная кривая в системе координат x′, y′


Выписываем координаты характерных точек в системе X′O′Y′. В нашем случае это центр кривой Q и вершины эллипса ABCD. По формуле (9.19) находим координаты этих точек в исходной системе:

 

Точка ­ ­ Координаты (x′, y′) в системе X′ O′ Y′ ­ ­ Координаты (x, y) в системе X O Y ­ ­
Q (1; –1) (; 0)
A (1 + 1/ ; –1) ( + 1/2; 1/2)
B (1 –1/ ; –1) ( –1/2; –1/2)
C (1; 0) (1/ ; –1/ )
D (1; –2) (3/ ; –1/ )


Наносим рассматриваемые точки в старой системе координат XOY после чего несложно нарисовать изучаемую кривую в этой системе координат (рис. 9.4).

 


Рис. 9.4 Полученная кривая в исходной системе координат x, y


Замечание. Если заданная в условии задачи кривая оказывается гиперболой, необходимо изобразить ее асимптоты. Для этого уравнение асимптот записывают в новой системе координат x′, y′, затем из формул (9.19) выражают новые координаты x′, y′ через старые x, y и делают замену в уравнениях асимптот, записывая их тем самым в старой системе координат. После этого несложно нарисовать асимптоты на чертеже.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)