|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Теоретическое введение. 1. Линейные операторы, их собственные значения и собственные векторы
1. Линейные операторы, их собственные значения и собственные векторы.
или в матричной записи , где A – матрица линейного оператора в базисе , , :
Столбцы этой матрицы являются координатами векторов, которые оператор A ставит в соответствие базисным векторам , , :
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора A, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: . Само число λ называется собственным значением линейного оператора A, соответствующим вектору . Собственные значения линейного оператора с матрицей (9.2) являются корнями характеристического уравнения, которое можно записать в виде | A – λE | = 0 или
Собственным вектором, соответствующим собственному значения λ является любой вектор = (x 1, x 2, x 3), координаты которого удовлетворяют системе линейных однородных уравнений:
Собственные векторы определяются условием (9.3) с точностью до числового множителя, поэтому решая систему (9.5), можно одну из ненулевых координат вектора принять равной любому конкретному значению.
где T – матрица перехода из исходного базиса в новый. Чтобы построить матрицу перехода T, надо координаты новых базисных векторов в исходной системе координат записать в столбцы матрицы T.
матрица линейного оператора A в базисе из собственных векторов будет диагональная, причем на диагонали будут стоять соответствующие собственные числа:
2. Исследование полного уравнения кривой второго порядка.
Обозначим, как обычно, через и единичные векторы, направленные по осям декартовой системы координат. Группу старших членов уравнения (9.9) a 11 x 2 + 2 a 12 xy + a 22 y 2 можно рассматривать как квадратичную форму от координат x, y вектора (x, y). Эта квадратичная форма связана с симметрической матрицей
Собственные числа λ 1 и λ 2 можно найти из характеристического уравнения
координаты векторов ēi = (e 1 i , e 2 i ) – из системы однородных уравнений
Напомним, что векторы ē 1 и ē 2 должны быть нормированными (единичной длины), поэтому, найдя произвольное решение системы (9.13) – (c 1 i , c 2 i ) в качестве собственного вектора следует взять:
С помощью формул (9.14) делаем замену переменных x, y на x′, y′ в уравнении (9.9). После преобразований мы придем к уравнению вида
Уравнение (9.15) можно исследовать способом выделения полных квадратов, а затем заменой переменных, соответствующей параллельному переносу начала координат. Содержание типового расчета Условие типового расчета содержит симметрическую матрицу линейного оператора A размером 3х3, а также уравнение кривой второго порядка. Необходимо: Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |