АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
|
Условие типового расчета
Уравнения кривых заданы таблицей из коэффициентов.
№ п/п
| A
| B
| C
| D
| E
|
|
| –36
| –50
| –72
|
|
|
|
| –16
|
| –23
|
|
|
| –12
|
|
|
|
|
| –4
|
|
| Приведем решения первых трех задач, указанных в задании. Задача 1. 1. По условию, уравнение имеет вид: 25 x 2 – 36 y 2 – 50 x – 72 y + 3589 = 0. 2. Так как AB = 25·(–36) < 0, то это уравнение гиперболического типа (см. 1, п. 1.2), следовательно, оно может определять или гиперболу, или пару пересекающихся прямых. 3. Выделим полные квадраты и приведем уравнение к каноническому виду: 25(x 2 – 2 x) – 36(y 2 + 2 y) + 3589 = 0; 25(x – 1)2 – 36(y + 1)2 = –3589 + 25 – 36; 25(x – 1)2 – 36(y + 1)2 = –3600; . 4. Перейдем к новой ДПСК X′O′Y′:
;
| (12)
| Тогда наше уравнение примет вид
| (13)
| Теперь хорошо видно, что данное уравнение определяет гиперболу (см. III). Однако наша гипербола расположена относительно ДПСК X′O′Y′ не так, как изображено на рис. 7.2, а повернута на 90°, т.е. ее действительная ось – ось OY, а мнимая – OX. 5. Найдем основные числовые характеристики гиперболы. Действительная полуось a = 10. Мнимая полуось b = 12. Расстояние от центра до фокуса . Эксиентриситет гиперболы ε = c/d = 1.56 > 1. 6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых сначала в ДПСК X′O′Y′, затем, пользуясь формулами (7.12), в данной ДПСК XOY. a) Следовательно, координаты центра гиперболы O' в данной ДПСК XOY будут (1,–1). b) Уравнения осей симметрии. Как мы уже отмечали, наша гипербола имеет действительную ось – ось O'Y': x' = 0 и мнимую ось – ось O'X': y' = 0. С учетом (7.12) уравнение действительной оси x = 1, аналогично, уравнение мнимой оси: y = –1. с) Вершины: В системе X'O'Y' , где ; , где ; отсюда, в системе XOY, A 1 (X 1, Y 1) = A 1(1; –11), A 2(X 2, Y 2) = A 2(1; 9). d) Фокусы. В системе X'O'Y': Отсюда в системе XOY: F 1(–1; –16,6); F 2(1; 14,6). e) Директрисы. L 1: y = –7,4; L 2: y = 5,4. f) Асимптоты. . x – 1,2 y – 2,2 = 0. . x + 1,2 y + 0,2 = 0. Γ 1: x – 1,2 y – 2,2 = 0; Γ 2: x + 1,2 y + 0,2 = 0. 7 Сводка полученных результатов
Данное уравнение кривой
| 25 x 2 – 36 y 2 – 50 x – 72 y + 3589 = 0
| Уравнение кривой относительно ДПСК X'O'Y' (после параллельного переноса)
|
| Название кривой
| Гипербола
| Полуоси
| Действительная полуось a = 10 Мнимая полуось b = 12
| Расстояние от центра до фокуса
|
| Эксцентриситет
|
| Связь между координатами точки (X,Y) и (X',Y')
| ;
|
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
| Координаты в ДПСК X'O'Y'
| Координаты в ДПСК XOY
| Центр O'
| (0, 0)
| (1, –1)
| Вершины A 1 A 2
| (0; –10) (0; 10)
| (1; –11) (1; 9)
| Фокусы F 1 F 2
| (0; –15,6) (0; 15,6)
| (1; –16,6) (1; 14,6)
| ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
| Уравнение в ДПСК X'O'Y'
| Уравнение в ДПСК XOY
| Оси Действительная Мнимая
| x' = 0 y' = 0
| x = +1 y = –1
| Директрисы L 1 L 2
| y' = –6,4 y' = 6,4
| y = –7,4 y' = 5,4
| Асимптоты Γ 1 Γ 2
| x' = 1,2 y'x' = –1,2 y'
| x – 1,2 y – 2,2 = 0 x + 1,2 y + 0,2 = 0
| 8. На рисунке 7.4 изображена гипербола.
Рис. 7.4 Гипербола
Задача 2. 1. По условию уравнение имеет вид y 2 – 16 x + 6 y – 23 = 0. 2. Так как AB = 0 ·1 = 0, то это уравнение параболического типа (см. 1, п.2); далее, так как C ≠ 0 (см. 1, п. 2.1), то это уравнение определяет параболу. 3. Выделим полный квадрат: (y 2 + 6 y + 9) = 16 x + 23 + 9; (y + 3)2 = 16(x + 2). 4. Перейдем к новой ДПСК X'O'Y'
| (14)
| тогда наше уравнение примет вид: (y')2 = 16 x'. 5. Найдем параметр: 2 p = 16, p = 8. 6. Найдем координаты замечательных точек и уравнения замечательных прямых: а) Вершина (См. (14)). O' (–2; –3). b) Уравнение оси: y' = 0, y + 3 = 0, т.е. y = –3. c) Координаты фокуса F (p /2,0): F (2, –3). d) Уравнение директрисы: z: X' = –p/2; X' = –4; X + 2 = –4 или X = –6.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | Поиск по сайту:
|