Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение Бернулли

Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка

Основные понятия

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Компьютерный практикум

4. Индивидуальные задания по теме “Дифференциальные уравнения”

Литература

Дифференциальные уравнения первого порядка

Основные понятия

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной функции. Это уравнение может быть записано в виде

F (x, y, y ¢) = 0. (1)

Здесь x ‑ независимая переменная, y ‑ её неизвестная функция, ‑ производная функции y, F ‑ заданная функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно говорить об области B определения функции F координатного пространства, то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных x, y, y ¢.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

y ¢ – x ⁴ = 0; x sin y ¢ – ln y = 0; x cos y + (y ¢ – y ²)sin x = 0.

Решением уравнения (1) называется такая функция y = j (x), определенная на некотором промежутке (x ₁, x ₂), что при подстановке её вместо y в уравнение (1) полу­чается верное равенство на всем промежутке (x ₁, x ₂). Очевидно, что подстановка y = j (x) возможна только тогда, когда функция j (x) на промежутке (x ₁, x ₂) имеет первую производную. Необходимо также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x ₁, x ₂) точка с координатами x, y, y ¢ принадлежала множеству B, на котором определена функция F. Совокупность всех решенийдифференциального уравнения называется его общим решением.

В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y ¢ как функцию независимых переменных x и y:

y ¢ = f (x, y). (2)

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.

Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей окрестностью). Пусть функция y = j (x) – решение уравнения (2). Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x ₀, y ₀) принадлежит области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен

j ¢(x ₀) = f (x ₀, j (x ₀))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой точке области G построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется полем направлений, задаваемым уравнением (2). Пример приведен на рисунке 1. Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

Пример 1.

Проверить, является ли заданная функция решением уравнения:

Решение.

Задаем функцию .

Дифференцируем и подставляем в заданное уравнение

.

В результате уравнение обращается в тождество, следовательно, функция является общим решением дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении

y ¢ = f (x, y). (1)

где f (x, y) = f ₁(x) f ₂(y), то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Его общий вид:

.

Предполагая, что f ₂(y) ¹ 0, преобразуем последнее уравнение:

.

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу.

Пример 2.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Перепишем заданное дифференциальное уравнение в виде

.

Разделим переменные – для этого левую и правую части уравнения разделим на y² + 1 и умножим на dx. Получим

.

Проинтегрируем обе части уравнения

.

Тогда

,

где С – постоянная величина.

Разрешив последнее выражение относительно y

,

получим общее решение дифференциального уравнения

.

Пример 3.

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.

Вначале найдем общее решение заданного дифференциального уравнения

.

Подставляя в выражения, полученные для y, начальные условия найдем частное решение дифференциального уравнения:

Первое частное решение:

Первое частное решение имеет вид:

.

Второе частное решение:

Второе частное решение имеет вид:

.

Поиск по сайту: