Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение 3. Уравнение вида

, (3)

где y – искомая функция, а p и q - вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (3) представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Нахождение общего решения однородного уравнения рассмотрено в предыдущем разделе. Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим различные виды функции f(x), входящей в правую часть уравнения (3).

1). Правая часть имеет вид

f(x) = P_n(x),

где P_n(x) – многочлен степени n.

Тогда частное решение y₂ – можно искать в виде y₂ = Q_n(x) x^r, где Q_n(x) – многочлен той же степени, что и P_n(x), а r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 11.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Вначале решаем однородное уравнение

.

Составляем характеристическое уравнение

.

Находим корни характеристического уравнения

.

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

,

где С₁ и С₂ – постоянные величины.

Так как ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

,

где A и B – постоянные величины.

Дважды дифференцируем y1(x)

и подставляем в данное уравнение

,

получаем уравнение

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства:

, .

Решаем полученную алгебраическую систему уравнений:

.

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения складывается их общего решения однородного уравнения и частного решения однородного уравнения.

Таким образом, получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

2). Правая часть имеет вид

f(x) = e^ax P_n(x),

где P_n(x) – многочлен степени n.

Тогда частное решение y₂ – можно искать в виде y₂ = Q_n(x) x^re^ax, где Q_n(x) – многочлен той же степени, что и P_n(x), а r – число корней характеристического уравнения, равных a.

Если а = 0, то имеет место случай 1).

Пример 12.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Составим характеристическое уравнение

.

Находим корни характеристического уравнения

.

Значит, общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень k₁ = a = 1, то r = 1. В данном случае P_n(x) = x – многочлен первой степени. Поэтому частное решение данного уравнения ищем в виде

.

Или

.

Находим первую

и вторую производные

.

Подставляя частное решение, первую и вторую производные в исходное уравнение, получим:

-4Ах +2А - 2B = x.

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях последнего равенства.

Получаем

-4А = 1, 2А – 2B = 0.

Решаем полученную алгебраическую систему и находим коэффициенты A и B.

.

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

,

Общее решение данного уравнения примет окончательный вид

, то есть

.

3). Правая часть имеет вид

f(x) = a cos(bx) + b sin((bx),

где a, b b - известные числа.

Тогда частное решение y₂ – можно искать в виде

y₂ =(A cos((bx) + B sin((bx)) x^r,

где A, B - неизвестные коэффициент ы, а r – число корней характеристического уравнения, равных b.

Пример 13.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Характеристическое уравнение

имеет корни

.

Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

.

В правой части данного уравнения – функция sinx, т.е. a = 0, b = 1, b = 1.

Так как ib = i – корень характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать в виде

или

.

Вычисляем первую и вторую производные от частного решения

и подставляя частное решение, первую и вторую производные в заданное неоднородное дифференциальное уравнение получаем

.

Сравнивая в последнем равенстве коэффициенты при sin(x) и cos(x) найдем A и B:

.

Значит

- частное решение неоднородного уравнения.

Следовательно, общее решение неоднородного дифференциального уравнения

имеет вид

.

4). Правая часть имеет вид

f(x) = e^ax(P_n(x) cos(bx) + P_m(x) sin(bx)),

где P_n(x) – многочлен степени n, P_m(x) – многочлен степени m.

Тогда частное решение следует искать в виде

y₂ = x^r e^ax (Q₁(x) cos(bx) + Q₂(x) sin(bx)),

где Q₁(x) и Q₂(x) - многочлены степени s, где , а r –число корней характеристического уравнения, равных a + i b.

Пример 14.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Находим общее решение однородного уравнения

Для этого составляем характеристическое уравнение

.

Находим корни характеристического уравнения

Общее решение однородного уравнения имеет вид

В нашем случае, согласно теории, P_n(x) = 3, P_m(x) = 0, s = 0. Число a + ib = 2 +i1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому r = 0 и частное решение ищем в виде

.

Дифференцируя

и подставляя в уравнение, получаем

Сравнивая коэффициенты при cos(x) и sin(x) в левой и правой частях последнего равенства, найдем A и B:

.

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения примет окончательный вид

5). Правая часть уравнения

представляет сумму двух функций.

Тогда частное решение можно искать в виде

y₂ = y₂¹ +y₂²,

где y₂¹ – частное решение уравнения

,

а y₂² – частное решение уравнения

Пример 15.

Найти общее решение уравнения

.

Решение.

Решая вначале однородное уравнение, получим

.

Так как правая часть уравнения состоит из суммы двух функций sin(x) и x, то частное решение ищем в виде

,

где - частное решение уравнения ,

а - частное решение уравнения .

Находим частное решение . Так как число ib = i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде

.

Подставляя

,

,

в уравнение ,

получим

Сравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения при sin(x) и cos(x), найдем неизвестные коэффициенты A и B:

.

Следовательно,

.

Теперь найдем частное решение уравнения .

Решение будем искать в виде

, так число a = -1 не является корнем характеристического уравнения.

Подставляя

, ,

в уравнение

, получим

Сравнивая коэффициенты при e^-x в обеих частях уравнения, найдем, что A = 1/ 4.

Следовательно,

,

а частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

.

Поиск по сайту: