Дифференциальные уравнения второго порядка. Определение 1. Уравнение вида

Основные понятия.

Определение 1. Уравнение вида

где х – независимая переменная, у – искомая функция, и - её производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Обычно изучаются уравнения, которые могут быть записаны в виде, разрешенном относительно второй производной

(1)

Решением уравнения (1) называется функция y = j(x), x Î (a, b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Условия

, при x = x₀

(2)

называются начальными условиями.

Функция называется общим решением уравнения (1) в некоторой области G, если она является решением уравнения (1) при любых значениях С₁ и С₂ и если при любых начальных условиях (2) существует единственное значение постоянных С₁ = С₁⁰, С₂ = С₂⁰ такие, что функция удовлетворяет начальным условиям.

Любая функция , получающаяся из общего решения уравнения (1) при определенных значениях постоянных С₁ = С₁⁰, С₂ = С₂⁰, называется частным решением.

Пример 9.

Найти общее и частное решение уравнения при начальных условиях y₀ = 1,

при х₀ = 1.

Решение.

Общее решение данного дифференциального уравнения найдем последовательным двукратным интегрированием.

Сначала заменяя

, и, разделяя переменные, получим .

Интегрируем левую и правую части полученного уравнения

Таким образом,

(1)

Заменяя

, и, разделяя переменные, получим .

Интегрируем левую и правую части полученного уравнения

.

Таким образом,

. (2)

Используя начальные условия, найдем значения двух постоянных интегрирования С₁ и С₂. Для этого, подставляя y₀ = 1, при х₀ = 1 в полученные соотношения (1) и (2), решим систему обыкновенных алгебраических уравнений относительно неизвестных С₁ и С₂.

Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид

,

а частное решение исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

y = x² – x + 1.

Графиком частного решения является парабола, проходящая через точку (1; 1).

Поиск по сайту: