 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Уравнение в полных дифференциалах
Уравнение вида
,
где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции F(x;y) в некоторой области G, называется уравнением в полных дифференциалах.
Если уравнение
является уравнением в полных дифференциалах, то его можно записать в следующем виде
,
где F(x,y) – такая функция, что
.
Отсюда следует, что общее решение уравнения (8) имеет вид F(x,y) = C.
Решение сводится к отысканию функции F(x,y).
Пример 8.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Здесь
.
Так как
,
то выражение
является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y). При этом 
и 
- непрерывные функции.
Тогда
.
Интегрируя левую и правую части по х, получим
(1).
Чтобы найти C(y), используем (1) и то, что
.
Имеем
;
.
Подставляя полученное C(y) в (1), получаем
.
Данное уравнение принимает вид dF(x,y) = 0, а его общее решение определяется уравнением
или 
.
Полагая
, где C3 – произвольная постоянная,
получаем окончательное уравнение, определяющее общее решение исходного дифференциального уравнения
.
Поиск по сайту: