Вероятность. Экспонента

Бросая камень с обрыва, мы никогда заранее не сможем узнать – на какое место он ляжет, когда докатится до низа. Это и понятно – и камень, и обрыв – сложные существа, у них очень сложная форма поверхности. Тем не менее, если мы вообразим, что некий суперкомпьютер учтет местоположения и импульсы всех молекул камня и обрыва, то чисто теоретически можно будет рассчитать его траекторию и конечную точку путешествия со сколь угодно большой точностью. Поэтому, когда мы говорим о «вероятности приземления камня» в том или ином месте, мы имеем дело с вероятностью, обусловленной игнорированием множества данных, говорящих нам о координатах и импульсах молекул камня и обрыва. Чем больше мы увеличиваем количество учтенных данных, тем точнее мы можем рассчитать приземление камня, тем меньше фактов мы игнорируем, тем больше вероятность того, что наш расчет окажется верным. Назовем такую вероятность «вероятностью игнорирования».

В атомном мире мы сталкиваемся с совершенно другой вероятностью. Назовем ее «фундаментальной вероятностью». Если мы сообщим атому водорода некоторую энергию, переведя электрон на более высокую орбиту, то спустя некоторое время атом потеряет эту энергию – электрон испустит квант света и вернется обратно на прежнюю орбиту. Промежуток времени, в течение которого атом остается в возбужденном состоянии, мы рассчитать не можем независимо ни от чего. Мы можем узнать все, что доступно нам знать об электроне, а точность наших предсказаний не увеличится. Она всегда будет одной и той же. Это первая странность.

Вторая странность состоит в том, что электрон не является сложным объектом, как камень или обрыв. Все камни разные – не требуется даже лупы, чтобы найти сколько угодно отличий между любыми двумя камнями. С электронами, протонами и прочими элементарными частицами все совершенно наоборот. Они абсолютно идентичны, насколько мы сейчас это видим. Это означает, что у них не может быть такой же сложной внутренней структуры, какую мы видим у камня, так что здесь нет места для вероятности игнорирования – здесь проявляется именно фундаментальная вероятность, то есть такая, которая является сама по себе свойством материи.

Однако квантовая механика дает нам поразительную возможность точного вычисления вероятности события на любом промежутке времени. Наблюдая за отдельным атомом, мы никогда не сможем сравнить предсказанную вероятность события с реальностью – отдельный атом может перейти из возбужденного в невозбужденное состояние когда угодно. Но если мы возьмем очень много атомов, тогда мы увидим, что в среднем наше предсказание, выведенное из расчетов вероятности, выполнится. Можно привести аналогию с рулеткой: мы знаем и можем доказать на опыте, что если прокрутить рулетку миллион раз, то красное и черное выпадут примерно поровну, и в то же время если мы раскрутим рулетку лишь 10 раз, мы ничего подобного не увидим – она может хоть 10 раз подряд показать «красное».

Можно рассмотреть проявление фундаментальной вероятности на примере распада нестабильных частиц. Например, в камере Уилсона мы можем фотографировать траектории пионов. Пион, влетая в камеру, может распасться на мюон и нейтрино. При этом некоторые пионы распадаются сразу же, некоторые – позже, а некоторые – еще позже. Если мы пронаблюдаем очень много пионов, мы сможем вывести экспериментально некое среднее время распада. И хотя отдельный пион будет распадаться когда угодно, среднее время распада большой группы пионов всегда будет одним и тем же. Это самое среднее время распада пиона является совершенно точной величиной, которую мы смогли измерить. Хоть миллион раз меряй – оно не изменится. И в то же время, время жизни отдельного пиона мы никогда и никаким образом предсказать не можем.

Интересный опыт можно поставить со счетчиком Гейгера. Это такой прибор, который издает щелчок, когда в него попадает ускоренная элементарная частица. Если подвести счетчик Гейгера к радиоактивному объекту, мы услышим неравномерные щелчки. Момент, когда мы услышим щелчок, совершенно не зависит от того времени, которое прошло с момента последнего щелчка. Мы можем выписать последовательность промежутков времени между соседними щелчками, и математический анализ покажет, что они совершенно случайны. Во время такого эксперимента можно ощутить себя тесно соприкасающимся с внутриатомным миром – каждый щелчок означает, что только что атом одного вещества спонтанно распался, выбросив из себя альфа-частицу, и превратился в атом другого элемента.

У фундаментальной вероятности есть свои законы, которым она подчиняется. Один из таких законов: развитие процесса по экспоненте.

График экспоненты ты можешь легко нарисовать сама. Нарисуй сначала две оси координат – горизонтальную ось «икс» («х») и вертикальную ось игрек («y»). Обе оси исходят из одной нулевой точки, которая называется «началом координат». Положение любой точки на плоскости определяется, таким образом, двумя числами и записывается как (x,y). Например, запись (1,2) означает, что сначала необходимо отложить одну единицу по оси икс, а затем 2 единицы по оси игрек. То место, куда мы придем, и будет иметь координаты (1,2). На картинке, представленной тут, точка М имеет координаты (P,Q), где P=2, а Q=3. А точка K имеет координаты (R,S), где R=-4, а S=-2,5

Теперь нарисуй сам график экспоненты. По оси «X» отложи числа 1,2,3,4. По оси «Y» - числа 4, 2, 1, ½, ¼. Теперь поставь следующие точки графика: (0,4), (1,2), (2,1), (3,½), (4,¼). Соедини полученные пять точек плавной линией – это и есть экспонента. Выглядит экспонента как горка, крутая вначале и становящаяся все более пологой в конце. Теперь представим себе, что по оси «X» мы откладываем время в секундах, которое проходит с момента запуска большой группы неких элементарных частиц в камеру Уилсона, а по оси «Y» - их количество (в миллионах, например), которые остались целыми к текущему моменту.

Мы видим, кто к первой секунде осталось целыми 2 миллиона частиц из начальных четырех. Это и означает, что период полураспада таких частиц равен одной секунде. Ко второй секунде осталась ровно половина от того, что было к первой секунде – лишь миллион частиц. И так далее. Именно экспонента обладает таким свойством, что в какой бы момент времени мы ни взяли имеющуюся группу частиц, ровно половина от имеющегося в данный момент их количества распадется спустя одну секунду. То есть вероятность того, что спустя секунду распадется половина имеющихся на данный момент частиц, всегда равна 50%, так как ровно половина имеющихся на данный момент частиц распадется, когда пройдет период полураспада.

Как мы знаем, разные элементарные частицы могут иметь очень разное время полураспада. Например, есть такие удивительные частицы, которые имеют электрический заряд, равный 2, а не 1, как все. Они очень нестабильны и распадаются спустя 10^-20 секунды после рождения. А есть и такие радиоактивные элементы, период полураспада которых равен 10¹⁰ лет! И все же – огромный этот период или крошечный – они все подчиняются экспоненциальному закону.

Когда взрывается атомная бомба, то местность заражается самыми разнообразными радиоактивными веществами. Некоторые из них распадаются через несколько секунд, минут или часов после взрыва – эти элементы сравнительно безопасны – почти полностью распались почти сразу, и нет их. У других период полураспада тянется миллионы лет, и они тоже безопасны – их радиоактивность слишком медленно проявляется, чтобы это оказало какое-то влияние на нашу жизнь. Опасны те, у кого период полураспада от нескольких лет до нескольких сотен лет. Например, кобальт-60 имеет период полураспада около 5 лет, а стронций-90 – 28 лет. К сожалению при ядерных взрывах выделяется также изотоп углерода ¹⁴C, что резко меняет его концентрацию в атмосфере и почве и в органических остатках, так что археологам, видимо, придется бросить всю ту огромную работу, которую они провели по созданию углеродной шкалы, и искать какой-то другой изотоп, который, с одной стороны, не выделяется при ядерных взрывах, а с другой стороны удобен для использования в археологии, то есть имеет период полураспада в несколько тысяч или десятков тысяч лет, а также достаточно распространен, чтобы мы могли обнаруживать его малые количества.

Фундаментальная вероятность проявляет себя в микромире не только в том, что ею определяется время наступления того или иного процесса, но и сами эти события могут быть вероятностными. Например, каон (то есть К-мезон) может распадаться различными способами: например на два пиона или на мюон с нейтрино. Как именно распадется тот или иной каон, мы не можем никогда и никаким способом точно определить, однако если мы возьмем много каонов, мы точно будем знать вероятность того, какой именно распад будет иметь место для этой группы, то есть какой процент каонов распадется на два пиона, а какой процент – на мюон с нейтрино.

Таким образом, несмотря на то, что некоторые свойства частиц мы можем определить точно (например массу, электрический заряд, спин и т.д.), другие свойства не поддаются точному определению в принципе, зато мы можем точно знать вероятность тех или иных событий при большом их количестве.

Есть еще оно интересное замечание. Дело в том, что по экспоненте развивается жизнь. Если точнее – очень многие процессы, связанные с тем, что мы считаем «жизнью», описываются тем же экспоненциальным графиком: рост быстродействия компьютеров, рост числа открытий, рост объема мусора и так далее. Если в каком-то процессе ты наткнулся на экспоненциальную зависимость, можешь быть убежден – здесь не обошлось без вмешательства жизни. Поищи жизнь и ты найдешь ее. Если бы инопланетяне изучали бы количество космического мусора, который появляется вокруг Земли, или совокупную энергию исходящих от Земли радиоволн, они тут же обнаружили бы экспоненциальную зависимость и сделали бы вывод: тут скорее всего есть жизнь. Наступят времена, когда мы будем маскироваться и так корректировать энергетические выбросы Земли, чтобы они создавали впечатление процессов, не связанных с жизнью. Но интересно – о какой жизни можно говорить, когда речь идет об элементарных частицах? О жизни чего? И о жизни в каком понимании? Одна из современных космологических теорий рассматривает все элементарные частицы как миниатюрные «черные дыры». Другая – как отдельные «свернутые» Вселенные. Будущее покажет – что мы сможем открыть в этой области. Если и в самом деле эти теории отражают реальность, то астрономия и физика элементарных частиц вскоре обнаружат нечто общее в поведении изучаемых этими науками объектов.

Поиск по сайту: