АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Алгоритм метода касательных

Читайте также:
  1. I.2.4. Алгоритм симплекс-метода.
  2. II. 4.1. Алгоритм метода ветвей и границ
  3. II. Проблема источника и метода познания.
  4. LU – алгоритм нахождения собственных значений для несимметричных задач
  5. QR- алгоритм нахождения собственных значений
  6. SALVATOR - это переход физического явления в семантико-нейронный алгоритм (инструкцию) освобождения человека от негативных последствий этого явления.
  7. SWOT-анализ в качестве универсального метода анализа.
  8. XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
  9. Административными методами можно предотвратить необоснованные расходы (хищение, злоупотребление).
  10. Алгоритм
  11. Алгоритм
  12. Алгоритм
1. Выберем начальное приближение. Начальное приближение x0 выбирается,исходя из условия f(x0) f ’’(x0) >0. Для функции(изображенной на рисунке) 2-ая производная больше 0 (f ’’(x0) > 0, функция выпукла книзу), f(a)<0, f(b)>0, следовательно, x0 = b (в т. x0 = а данное условие не выполняется). 2.Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке A0[x0, f(x0)]. 3.В качестве 1-го приближения корня х1 возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. 4.Через точку А1[x1, f(x1)]. снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осьюОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д. 5.Продолжим процесс, в результате получим итерационную последовательность x0, x1, x2,……xn, 6. Формула для вычисления n-ого приближения 7.Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится одно из условий Или   Если хоты бы одно из условие (1.4) или (1.5) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (1.1) с точностью e принимается n-я итерация, т.е.. Если ни одно из условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.
Аналогичным образом находиться корень и в случае, когда f ’’(x)<0 для xÎ [a b] (см. Теорема1) 2 этап. Уточнение корня уравнения. Реализация метода касательных (Ньютона) Задание 2.2.Уточнение корня уравнения (1.2) методом касательных проводим на основании теоремы 2. 1. Найдем начальное приближение x0, исходя из условия f(x0) f ’’ (x0)>0. Для функции вторая призводная f ’’ (x)=1/х положительнана всем отрезке [0.5, 3] (функция – выпуклая книзу), f(0.5)<0, f(3.0)>0, следовательно x0=b=3. 2. Корень уравнения x* с заданной точностью ε вычисляется по формуле (1.7)
Последовательность действий. Подготовьте таблицу, как показано на рисунке 1. Введите в ячейки A4 текст Начало отрезка a=, D4 = 0.5, A5 текст Конец отрезка b=, D5 = 3.0, A6 текст Начальное приближение x0=, D6 = D5, A7 текст Точность вычисления e=, D7 =0,01   2.Используя автозаполнение введите номер итерации nв столбце А. 3. Введите в ячейки В13 =D6 (значение x0) C13 =B13*ln(B13)-1(формулу для вычисления значения функции), D13 =ln(B13)+1 (формулу для вычисления значения ее производной), E13 =abs(C13) (формулу для вычисления абсолютного значения функции |f(xn)|). 4. B14 =B13-C13/D13 (формулу для вычисления 1-го приближения) 5.Выделите ячейки C13, D13, E13 и скопируйте на строку ниже, т.е. соответственно в C14, D14, E14 и вы получите значения функции, ее производной и значение абсолютной величины функции в точке первого приближения х1 . 6.Выделите блок ячеек В14-Е14 и скопируйте их вниз до конца таблицы. 7.Итерационный процесс следует продолжить до тех пор, пока не выполнится условие |f(xn)|< e Ячейки E15-E17 тонированы серым цветом с использованием Условного форматирования(см. далее)     За приближенное значение корня уравнения с точностью e=0.01принимается 2-я итерация, т.е. x*»1,76656.
  Задание 2.3. Условное форматирование. Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса воспользуйтесь Условным форматированием. Условное форматирование– это форматирование выделенных ячеек на основе некоторого критерия, в результате чего произойдет цветовое оформление ячеек, содержимое которых удовлетворяет заданному условию.  
Для этого выполните следующие действия: · выделите ячейки последнего столбца расчетной схемы, где будет задаваться критерий окончания итерационного процесса · на вкладке Главная\Стили\ Условное форматирование; · выберите Правила выделения ячеек\ Меньше;  
· в левой части диалогового окна Меньшезадайте значение, которое будет использовано в качестве критерия (в нашем примере это адрес ячейки D7, где находится значение ε).   · в правой части окна выберите цвет, которым будут окрашены ячейки, отвечающие заданному условию; и нажмите кнопку ОК.  
   
       

 

В результате такого форматирования ячейки столбца Е, значения которых меньше 0.01, тонированы.

Таким образом, за приближенное значение корня уравнения (1.2) с точностью e=0.01принимается 2-я итерация, т.е. x*»1,76656.

Измените значение e, т.е. содержимое ячейки D7, и вы увидите, как изменится значение корня нашего уравнения. Проанализируйте результаты.
1.6. Метод хорд. Реализация метода
Пусть уравнение f(x) = 0, на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теоремы 1, т.е. имеет единственный корень, и производные f’(x) и f’’(x) непрерывны и имеют постоянные знаки. С геометрической точки зрения метод хорд эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)].
Для решения нелинейного уравнения по методу хорд справедлива Теорема 3.
Пусть функция y = f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теоремы 1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень. Исходя из начального приближения x0, удовлетворяющего условию f(x0) f ’’ (x0)<0, (1.8) корень x* уравнения (2.1) с заданной точностью ε вычисляется по формуле (1.9) или (1.10)

Напомним, что знак второй производной функции легко определить из графика самой функции.

Возможны несколько вариантов расположения графика функции на отрезке [a,b].

Если график функции выпуклый внизу, то вторая производная функции больше нуля f ’’ (x0)>0
Если график функции выпуклый кверху, то вторая производная меньше нуля f ’’ (x0)<0

 

Рассмотрим 1-ый случай, когда f ’’ (x)>0 для xÎ [a,b], f(а)<0, f(b)>0 ( см. рисунок ниже)

Алгоритм метода хорд

1. Выберем начальное приближение. Начальное приближение x0 выбирается,исходя из условия f(x0) f ’’(x0) <0. Данное условие выполняется в т. x0 = a. 2.Проведем хорду к кривой y = f(x) через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)]. 3.В качестве 1-го приближения корня х1 возьмем абсциссу точки пересечения этой хорды с осью ОХ. 4.Через точки C[x1, f(x1)] и B[b, f(b)] снова проведем хорду, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д. 5.Продолжим процесс, в результате получим итерационную последовательность x0, x1, x2,……xn; 6. Ф ормула для вычисления n-ого приближения 7.Итерационный процесс продолжается (или построение хорд продолжается) до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится условие   Или Если хоты бы одно из условие (1.4) или (1.5) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (1.1) с точностью e принимается n-я итерация, т.е.. Если ни одно из условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.
2 этап. Уточнение корня уравнения. Реализация метода хорд Задание 2.3.Уточнение корня уравнения (2.2) методом хорд проводим на основании теоремы 3. 1. Найдем начальное приближение x0, исходя из условия f(x0) f ’’ (x0)<0. Для функции вторая призводная f ’’ (x)=1/х положительнана всем отрезке [0.5, 3] (знак второй производной функции можно определить и по графику функции), f(0.5)<0, f(3.0)>0, следовательно x0=a=0.5 ( Из рассмотренных выше случаях у нас 1 вариант) 2. Корень уравнения x* с заданной точностью ε вычисляется по формуле (1.9)
Последовательность действий. 1.Подготовьте таблицу, как показано на рисунке 2. Введите в ячейки: A5 текст Начало отрезка a=, E5 = 0.5, A6 текст Конец отрезка b=, E6 = 3.0, A7 текст Начальное приближение x0=, E7 = E5, A8 текст Точность вычисления e=, E8 = 0.01 3.Используя автозаполнение введите номер итерации nв столбце А. 4. Введите в ячейки: В13 =Е7(т.е. значение x0) C13 =B13*ln(B13)-1(формулу для вычисления значения функции), D13 =$E$6-B13 (т.е.b-x), E13 =$D$10-C13, (т.е. f(b)-f(x)), F13 =ABS(C13), (т.е |f(x)|) 5. B14 =B13-C13/E13*D13 (формулу для вычисления 1-го приближения). 6.Выделите ячейки C13, D13, E13, F13 и скопируйте на строку ниже, т.е. соответственно в C14, D14, E14, F14 и вы получите f(x), b-x, f(b)-f(x), |f(x)| в точке первого приближения х1 . 7.Выделите блок ячеек В14-F14 и скопируйте их вниз до конца таблицы. 8.Итерационный процесс следует продолжить до тех пор, пока не выполнится условие |f(xn)|< e Ячейки F17-E18 тонированы серым цветом с использованием Условного форматирования(см. выше – в методе касательных)     За приближенное решение уравнения по методу хорд с заданной точностью e=0.01 принимается 4-я итерация, т.е. x* »1,761764.
Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса воспользуйтесь Условным форматированием (установки см. в методе касательных)
1.7. Метод половинного деления. Реализация метода
Метод дихотомии заключается в последовательном уменьшении отрезка, содержащего корень уравнения, путем его деления пополам. Алгоритм метода половинного деления
1. За начальное приближение берем , т.е. делим отрезок [a, b] пополам. 2.Если значение функции в этой точке равно 0, т.е , то x0 является корнем уравнения 3.Если , то из двух отрезков [a, x] и [x, b] выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет разные знаки (из рисунка видно, что f(x) > 0, f(a)< 0, f(b) > 0, значит выбираем отрезок [a, x]. Точку b переносимв x0. 4.Далее итерационный процесс продолжается путем деления нового отрезка пополам, т.е. новый «суженный» отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим тот же анализ. т.е. повторяем п. 2. 5.Процесс деления отрезка пополам прекращается, когда   Если условие выполняется, то полученная в результате вычислений последняя точка хn является приближённым значением корня уравнения, найденным с погрешностью e. Если условие не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.
    2 этап. Уточнение корня уравнения. Реализация метода половинного деления (дитохомии) Задание 2.4.Уточнение корня уравнения (1.2) методом половинного деления.  
Последовательность действий. 1.Подготовьте таблицу, как показано на рисунке 2. Введите в ячейки: A5 текст Начало отрезка a=, E5 = 0.5, A6 текст Конец отрезка b=, E6 = 3.0, A7 текст Начальное приближение x0=, E7 = (E5+E6)/2, A8 текст Точность вычисления e=, E8 = 0.01 3.Используя автозаполнение введите номер итерации nв столбце А. 4.Заполните 1-строку таблицы: Введите в ячейки: В13 = Е5 (значение a) C13 = Е6 (значение b) D13= B13*ln(B13)-1 (формулу для f(а)) E13= C13*ln(C13)-1 (формулу для f(b)) F13 = (B13+C13)/2 (формулу для вычисления середины отрезка), G13= F13*ln(F13)-1 (формулу для f(x)) H13 = ABS(G13)(модуль значения функции) 5. B14 =ЕСЛИ(D13*G13<0; B13; F13); (формулу для формирования левого конца отрезка, используя функцию ЕСЛИ), C14 =ЕСЛИ(D13*G13<0; F13; C13), (формулу для формирования правого конца отрезка, используя функцию ЕСЛИ). 6.Выделите ячейки D13-H13 и скопируйте на строку ниже, т.е. соответственно в D14-H14 и вы получите f(a), f(b), x, f(x) и |f(x)| в точке первого приближения х1. 7.Выделите блок ячеек В14-H14 и скопируйте их вниз до конца таблицы. 8.Итерационный процесс следует продолжить до тех пор, пока не выполнится условие |f(xn)|< e Ячейки H19-H21 тонированы серым цветом с использованием Условного форматирования(см. выше – в методе касательных) За приближенное решение уравнения по методу половинного деления с заданной точностью e=0.01 принимается 6-я итерация, т.е. x* »1,7500.  
  3. Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса воспользуйтесь Условным форматированием (установки см. в методе касательных)  
1.8. Решение нелинейного уравнения с помощью надстройки «Поиск решения»
Корни нелинейного уравнения можно найти, используя надстройку Excel Поиск решения. Продемонстрируем это для нашего уравнения. За нулевое приближение решения уравнения, как это видно из рисунке, можно принять х0 =2 или х0 =1,5. Последовательность действий. 1.Оформите табличку, как показано на рисунке. 2. Введите в ячейки А 2 значение нулевого приближения корня, т.е х0 =2. B2 тоже введите значение нулевого приближения корня, т.е х =2. Значение ячейки В2 будет изменяться в процессе решения (Поиск решения). С2 введите формулу левой части уравнения, т.е. =В2*Ln(В2)-1 (смотри строку формул). 3.Выберите Вкладку Данные/Поиск решения. 4.В окне сделайте следующие установки: · в поле Установить целевую ячейку укажите адрес ячейки С2, т.е. формулу левой части уравнения; · в поле Равной значениюзадайте правую часть уравнения, т.е. 0 (ноль); · в поле Изменяя ячейки укажите ячейку В2, в которой первоначально было занесено нулевое приближение корня х0 и нажмите кнопку Выполнить. Если все было сделано правильно, то в ячейке В2 будет получено приближенное значение корня нашего уравнения, т.е. 1.76322
 
               

 


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)