Оценка сверхидентифицированного уравнения. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК-2 SLS)

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Параметры сверхидентифицированной функции предложения нельзя определить косвенным МНК. Обычный МНК также нельзя применять, так как в этом случае были бы нарушены предпосылки нормальной линейной модели регрессии. Нарушение этих предпосылок связано с наличием в уравнении в качестве фактора эндогенной переменной . Предположим, что мы нашли переменную , которая имеет 2 свойства:

• тесно коррелирует с переменной ,

• не коррелирует со случайной составляющей.

Такие переменные в эконометрике называются инструментальными переменными. Они отвечают предпосылкам нормальной линейной регрессионной модели.

Если заменить в уравнении регрессии переменную (выступающую в роли фактора) инструментальной переменной , то к такому преобразованному уравнению регрессии можно применить обычный МНК.

Пример 4. В модели спроса и предложения введем новую предопределенную переменную R_t — благосостояние потребителей в уравнение спроса:

Исходные данные приведены в табл. 12.

Имеются данные за 6 периодов времени по переменным (табл. **).

t	Q
						14,85
						12,23
						14,05
						15,20
						13,57
						15,10
Итого

Найдем оценки структурных параметров модели.

В этой модели функция спроса точно идентифицирована, а функция предложения сверхидентифицирована; при этом выполняется достаточное условие идентификации.

Параметры сверхидентифицированной функции предложения нельзя определить косвенным МНК. Обычный МНК также нельзя применять, т. к. в этом случае были бы нарушены предпосылки применения этого метода. Нарушение этих предпосылок связано с наличием в уравнении в качестве фактора эндогенной переменной .

Используем двухшаговый МНК для оценок параметров уравнения предложения.

1 шаг. Выпишем приведенную форму модели:

;

Из второго уравнения модели можно найти расчетные значения .

.

Второе уравнение приведенной формы можно переписать в виде:

.

Таким образом, переменная состоит из двух элементов:

• , которая есть линейная комбинация преопределенных переменных ();

• U ₂,которая в соответствии с предпосылкой МНК не коррелирует с переменной .

Сверхидентифицированную функцию предложения можно переписать в виде:

или ;где

Полученное уравнение отличается от исходной функции предложения только тем, что переменная заменена на ее оценку , и ошибкой .

Переменная имеет следующие свойства:

1) она тесно коррелирует с ,

2) она не коррелирует с ошибкой .

Таким образом, она является инструментальной переменной.

2 шаг. Определим обычным МНК параметры приведенной формы модели, используя данные таблицы **:

;

.

3 шаг. Подставим во 2-е уравнение приведенной формы фактические значения из таблицы, найдем расчетные значения и добавим их в табл. **. Например,

.

4 шаг. Применим обычный МНК к уравнению:

. В результате получим:

, .

Таким образом, структурные параметры уравнения предложения найдены.

Параметры точно идентифицированной функции спроса можно определить двумя способами:

Двухшаговым МНК: или

, .

Косвенным МНК (т. к. функция спроса точно идентифицирована).

Для этого выразим из 2-го уравнения приведенной формы переменную :

.

Подставим найденное выражение вместо в 1-е уравнение приведенной формы и получим:

.

Это 2-е уравнение структурной формы, параметры которого найдены КМНК.

Выпишем структурную форму модели:

, ;

, .

Для сравнения обычный МНК дает следующие результаты:

, ;

, .

Хотя функция предложения по сравнению с предыдущей моделью, в которую не входила переменная R_t, не изменилась, оценки ее структурных параметров изменились, т. к. изменилась вся модель: в нее была включена дополнительная предопределенная переменная. А обычный МНК не привел бы к изменению оценок структурных параметров функции. Выделим 2 главные особенности двухшагового МНК.

1. Двухшаговый МНК может применяться для оценки не только сверхидентифицированных, но и точно идентифицированных уравнений. В этом случае оценки, полученные двухшаговым и косвенным МНК, совпадут.

2. Если значения коэффициентов детерминации по уравнениям приведенной формы велико и превышает 0,8 (), то оценки структурных параметров, полученные двухшаговым и обычным МНК, будут близки. Причина в том, что при высоком расчетные значения инструментальных переменных не будут сильно отличаться от фактического значения соответствующих эндогенных переменных.

3. Однако если коэффициент детерминации для приведенного уравнения низкий, то расчетные значения эндогенной переменной будут плохой аппроксимацией ее фактических значений и применение двухшагового МНК может оказаться неэффективным.

Поиск по сайту: