АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однородные уравнения первого порядка

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  4. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  5. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  6. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. V2: Применения уравнения Шредингера
  11. V2: Уравнения Максвелла
  12. VI Дифференциальные уравнения

 

Уравнение первого порядка называется однородным, если f(x,y) можно представить как функцию только одного отношения переменных , т.е. уравнение вида .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными посредством замены функции у (или х) новой функцией t по формуле y=tx (x=ty), причем .

Дифференциальное уравнение типа:

приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку (х0,у0) пересечения прямых , т.е. замена переменных Х=х-х0, У=у-у0.

Если эти прямые не пересекаются, то , и рассматриваемое уравнение сводится к виду , которое приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , тогда

Задача №2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

2.31 .

Решение. Данное уравнение первого порядка уже разрешено относительно производной. Установим, что она является функцией только отношения переменных , т.е. установим, что данное уравнение является однородным. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим на x2. (Другими словами, сократим дробь на x2.)

.

Далее вводим новую функцию . Отсюда, . После подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными . Разделим переменные: и, интегрируя, найдем

Возвращаясь к старым переменным, получим

Ответ:

Задача №3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

3.31

Решение. Также как и в задаче №2 это тоже однородное дифференциальное уравнение. Докажем это, найдя точку пересечения прямых, стоящих в числителе и знаменателе и сделав соответствующую замену переменных.

Из последней системы легко видеть, что . Подставим найденные х и у в исходное уравнение, получим

.

Далее решаем полученное однородное уравнение путем замены.

Возвращаясь к старым переменным, получим:

,

что и является ответом.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.19 сек.)