метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

1. Для уравнения (11) составляют соответствующее однородное уравнение (12) и находят его общее решение y_о.о.:

. (14)

2. В уравнении (14) полагают константы функциями от x, т.е. . Эти функции находят из системы:

Решают эту систему методом Крамера. Определитель этой системы – определитель Вронского (он будет отличен от нуля для линейно независимых функций).

.

Тогда: . Отсюда

.

Подставляя эти значения в (14), получим общее решение уравнения (11):

.

Задача 16. Найти решение задачи Коши

.

Решение. Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. (Следует иметь в виду, что метод имеет место, когда коэффициент при старшей производной равен единице!)

Найдем общее решение уравнения ; т.к. корнями характеристического уравнения являются числа , то .

Предполагая, что с₁ и с₂ – есть функции от x, будем искать решение исходного уравнения в виде , где c₁(x) и c₂(x) найдем из системы:

Составим определитель этой системы – определитель Вронского:

.

(Т.к. определитель отличен от нуля, система имеет решение и при том единственное.)

.

Тогда . Отсюда, интегрированием находим

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет выглядеть так:

.

Для решения задачи Коши найдем y^/:

.

Подставляя начальные условия в у и у^/ найдем, что с₁=1, с₂=0. Тогда - частное решение.

литература

Учебники:

1. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.

2. Берман А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для ВТУЗов. – М.: Изд. «Наука». Гл.ред. физ.-мат. лит.,1967.

Пособия по решению задач:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах – М.: Высшая школа, 1986.

2. Запорожец Г.И. руководство по решению задач по математическому анализу – М.: Высшая школа, 1964.

3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике – Харьков: Изд. ХГУ им. М.Горького, 1965.

Методическая литература:

1.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания по выполнению ТР – 2 и контрольной работы «Дифференциальные уравнения». Часть I. – Орел, 1990.

2.Скорик А.И., Шевердинская В.П. Методические указания к выполнению ТР и для индивидуальной работы студентов. Дифференциальные уравнения высших порядков. – Орел, 1992.

Задачники:

1. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Специальные разделы математического анализа. Под. ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М: «Наука», Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.

2. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) – М.: Высшая школа, 1983.

Справочники:

1.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. – М.: Наука, Гл.ред. физ. – мат. лит., 1986.

Поиск по сайту: