Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную

Это уравнения вида . Если удается разделить их относительно , то . Общее решение последнего уравнения имеет вид:

.

Т.е. решение получается путем n-кратного интегрирования.

Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции

Такое уравнение имеет вид: . Порядок его может быть понижен с помощью подстановки: , где - новая искомая функция.

Если уравнение имеет вид , то подстановка понижает порядок на k единиц.

Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной

.

Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где – новая искомая функция.

Частный случай. Если уравнение имеет вид , и его удается решить относительно так, что , то интегрирование можно привести так. Умножим обе части на :

.

Т.к. и , то . Отсюда,

и

.

Задача №10. найти общее решение дифференциального уравнения.

10.31. .

Решение. Имеем неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка не содержащее искомой функции y. Порядок его может быть понижен с помощью подстановки , где - новая искомая функция. Эта подстановка приводит к уравнению:

.

Это линейное уравнение относительно z и z^/. Разделим его обе части на коэффициент при z ^/ и получим

.

Решением этого уравнения является функция . (Способы решения см. в задаче№4). Но , а потому .

Пришли к случаю, когда уравнение содержит только производную и независимую переменную, т.е. . Такие уравнения решаются путем интегрирования n-раз обеих частей уравнения, причем общее решение должно содержать в себе n констант. В нашем случае n=1.

- общее решение.

Уравнение действительных решений не имеет, поэтому нет и особых решений.

Задача №11. Найти решение задачи Коши.

11.31. .

Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Понижение порядка на единицу достигается подстановкой , где P(y) – новая искомая функция.

Уравнение перепишется так:

.

Тогда . Но .

Для облегчения решения этого уравнения найдем c_{1 ,} воспользовавшись начальными условиями, т.е. . Подставляя их в последнее уравнение, получим c₁=0.

Тогда - уравнение с разделяющимися переменными, решением которого будет .

Подставляя начальные условия, установим, что .

Ответ. .

Существует и второй способ решения этого уравнения. Если разрешить его относительно y^//, т.е. и умножить обе части на , то .

Левая часть этого уравнения ,а в правой - , поэтому последнее уравнение перепишется так:

.

Отсюда следует, что .

Последнее уравнение допускает разделение переменных. Предварительно с помощью начальных условий можно установить, что c₁=0,а . С помощью начальных условий найдем, что . Таким образом, пришли к тому же результату, что и в I способе.

Поиск по сайту: