Дз № 5. Поверхности в пространстве

	1.344	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Плоскость , параллельная плоскости Оху
	1.345	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Плоскость с нормальным вектором
	1.346	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Сфера радиуса R = 2 с центром в начале координат
	1.347	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Сфера радиуса R = 4 с центром в точке
	1.348	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Начало координат
	1.349	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Ось Оу
	1.350	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Пустое множество
	1.351	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Пара пересекающихся плоскостей и , параллельных оси Оу
	1.352	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Пара координатных плоскостей Оуz и Oxy
	1.353	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Тройка координатных плоскостей
	1.354	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Пара плоскостей и
	1.355	Установить, какой геометрический образ определяется уравнением .	Пара плоскостей и
	1.361 а,в,г,д	Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев (обозначено: С – центр сферы, R – радиус, , , , - точки на сфере): а) , R = 2; в) и - концы диаметра сферы; г) , плоскость касается сферы; д) , , , .	а) ; в) ;     г) ;     д) .
	1.372	Установить тип поверхности и построить ее.	Эллипсоид
	1.373	Установить тип поверхности и построить ее.	Однополостный гиперболоид
	1.374	Установить тип поверхности и построить ее.	Двуполостный гиперболоид вращения
	1.375	Установить тип поверхности и построить ее.	Конус
	1.376	Установить тип поверхности , , и построить ее.	Параболоид вращения
	1.377	Установить тип поверхности , , и построить ее.	Гиперболический параболоид
	1.378	Установить тип поверхности и построить ее.	Эллиптический параболоид
	1.379	Установить тип поверхности , , и построить ее.	Параболический цилиндр
	1.380	Установить тип поверхности и построить ее.	Параболоид вращения с вершиной (0,0,2)
	1.381	Установить тип поверхности и построить ее.	Гиперболический параболоид

	1.382	Установить тип поверхности и построить ее.	Однополостный гиперболоид вращения
	1.383	Установить тип поверхности и построить ее.	Двуполостный гиперболоид вращения
	1.393	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.394	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.395	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.396	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.397	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.398	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.399	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.400	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.401	Построить цилиндрическую поверхность .
	1.402	Построить цилиндрическую поверхность .

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

Кафедра высшей математики

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Студент

Группа

Преподаватель

Вариант

Дата

Екатеринбург
2010

Вариант 1

1. Задан тетраэдр . В базисе из ребер , и найдите координаты вектора , где и – середины ребер и .

2. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны, и . Вычислите .

3. Даны точки и . Найдите проекцию вектора на вектор .

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины .

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9. Вычислите расстояние от точки до прямой

10. Докажите, что прямая лежит в плоскости

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра и радиус .

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 2

1. Задан тетраэдр . В базисе из ребер и найдите координаты вектора , где F – точка пересечения медиан основания АВС.

2. Вычислите направляющие косинусы вектора .

3. Вычислите , если

4. Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон .

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой .

8. Укажите значение , при котором плоскости : и : будут перпендикулярны.

9. Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось абсцисс и точку .

10. Найдите точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра и точки на сфере.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности
с координатными плоскостями.

Вариант 3

1. В тетраэдре медиана AL грани АВС делится точкой М в отношении . Найдите координаты вектора в базисе из ребер .

2. Заданы векторы . Вычислите . Какова ориентация троек: а) ; б) ; в) ?

3. Даны векторы Найдите проекцию вектора на вектор .

4. Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А (-1, 1), В (9, -4) и точка пересечения его высот К (5, 4).

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найти точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям

9. Докажите, что прямая пересекает ось ординат.

10. Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки и – концы ее диаметра.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности
с координатными плоскостями.

Вариант 4

1. Дан параллелепипед . Принимая за начало координат вершину , а векторы , и за базисные, найдите координаты:
а) вершин ;
б) точек и – середин ребер и соответственно.

2. Определите, при каком значении a векторы и будут перпендикулярны, если

3. Установите, образуют ли векторы базис в множестве всех векторов, если .

4. Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон , и двух его высот: , .

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям:

9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

10. Докажите параллельность прямых и

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра и то, что плоскость касается сферы.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 5

1. Дан параллелепипед . Принимая за начало координат вершину , а за базисные векторы , , , найдите координаты:
а) точек и пересечения диагоналей граней и ;
б) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда.

2. Найдите направляющие косинусы вектора ,если , .

3. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если и - единичные векторы и .

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А(-1, -1), В(9, -6) и точка пересечения его медиан М(13/3; -5/3).

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Определите двугранный угол, образованный пересечением пары плоскостей

9. Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми: и .

10. Составьте уравнения проекции прямой на плоскость .

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки , , , лежат на сфере.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 6

1. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: . Найдите координаты вектора в базисе из векторов и .

2. Заданы векторы . Найдите:
а)
б)
с) .

3. Даны три вектора Найдите координаты вектора в базисе из векторов и .

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1, 1), В (-9, 6), С (-5, -2).

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9. Найдите координаты проекции точки М (1,0,1) на плоскость .

10. Докажите, что прямая лежит в плоскости

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (-3;-1;2) и радиус R = 3.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 7

1. В тетраэдре ABCD DM – медиана грани BCD и Q – центр масс этой грани. Найдите координаты векторов и в базисе , , .

2. Определите координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы, а его модуль равен 3.

3. Даны точки A (1, 2, 0), B (0, 1, 4) и С (-1, 1, 1). На плоскости XOZ найдите такую точку D, чтобы вектор был коллинеарен вектору .

4. Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон АС: х -2 у -3=0; АВ: х +2 у +1=0; ВС: 2 х + у +14=0.

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Укажите значение λ, при котором плоскости : 3 x – λ y + 3 = 0 и
: x – 2 y + 5 z – 10 = 0 будут перпендикулярны.

9. Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости
Р: -5x + 2y – z + 1 = 0 с плоскостью, проходящей через ось аппликат и точку

10. Найдите точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (-3;2;-1) и точки M (-2;1;-3) на ней.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 8

1. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем = , = . Выразите через и векторы , , , , , , .

2. Найдите угол, образованный единичными векторами если известно, что векторы перпендикулярны.

3. Найдите тупой угол (в радианах) между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

4. Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если заданы две его вершины А (-1, -1), В (-11, 4) и точка пересечения его высот К (-7, -4).

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям

9. Докажите, что прямая пересекает ось абсцисс.

10. Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки (3;-3;2) и (5;3;-6) являются концами диаметра сферы.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 9

1. В пространстве заданы треугольники ABC и . M и – точки пересечения их медиан. Выразите через векторы , и .

2. Докажите, что вектор перпендикулярен вектору .

3. Найдите вектор , коллинеарный вектору , если его проекция на вектор равна 5.

4. Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон , и двух его высот: , .

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям:

9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

10. Проверьте параллельность прямых и или найдите угол между ними.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
С (1;-4;-1) и то, что плоскость 2 x – y + 2 z + 2 = 0 касается сферы.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 10

1. Точки E и F – середины сторон AD и BC четырехугольника ABCD.

Докажите, что = ( + ).

2. Для векторов вычислите проекцию вектора на вектор .

3. Упростите выражение

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А (-1, 1), В (19, -9) и точка М (29/3; -1/3) пересечения медиан.

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей

9. Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:

10. Составьте уравнения проекции прямой на плоскость .

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки лежат на сфере.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности
с координатными плоскостями.

Вариант 11

1. Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник , стороны которого соответственно равны и параллельны медианам исходного треугольника ABC.

2. Для векторов вычислите проекцию вектора на вектор

3. Проверьте, компланарны ли векторы .

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если заданы три его вершины А (1, -1), В (21, -11) и С (13, 5).

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9. Найдите координаты проекции точки М (0;2;1) на плоскость
.

10. Докажите, что прямая лежит в плоскости
P:

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (0;-5;3) и радиус R = 5.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 12

1. Используя свойства векторов, докажите, что сумма квадратов медиан треугольника относится к сумме квадратов его сторон, как 3:4.

2. Найдите единичный вектор , параллельный вектору

3. Проверьте, компланарны ли векторы .

4. Найдите вершины треугольника и уравнения его медиан, если заданы уравнения трех его сторон ; ; .

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Укажите значение λ, при котором плоскости и будут перпендикулярными.

9. Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось ординат и точку .

10. Найдите точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (2;-1;3) и точки M (4;1;2) на ней.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности
с координатными плоскостями.

Вариант 13

1. AD, BE и CF – медианы треугольника ABC. Докажите равенство .

2. Даны векторы . Вычислите направляющие косинусы вектора

3. При каком значении l векторы будут компланарны, если .

4. Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А (-1, 1), В (-21, 11) и точка пересечения высот К (-13, -5).

5. Постройте кривую

6. Привести кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям , .

9. Докажите, что прямая пересекает ось абсцисс.

10. Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки и являются концами его диаметра.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 14

1. Векторы и являются медианами треугольника ABC. Выразите векторы через и .

2. Проверьте, что точки А (2; 4; 1), В (3; 7; 5), С (4; 10; 9) лежат на одной прямой.

3. Вычислите где

4. Найдите координаты вершин треугольника, если заданы уравнения двух его сторон , и двух его высот: , .

5. Постройте кривую .

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно к двум плоскостям:

9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

10. Докажите параллельность прямых и

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (-1;1;3) и то, что плоскость 4 x – 3 y + 6 = 0 касается сферы.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности
с координатными плоскостями.

Вариант 15

1. В параллелограмме ABCD известны векторы . Выразите через них векторы , если М - точка пересечения диагоналей параллелограмма.

2. Для заданных векторов вычислите , если
а)
б)

3. Даны векторы . В базисе из этих векторов найдите координаты вектора .

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две вершины треугольника А (-1, -1), В (-21, 9) и точка пересечения его медиан М (35/3; 1/3).

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой

8. Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей

9. Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми

10. Составьте уравнения проекции прямой на плоскость .

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки лежат на сфере.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 16

1. В равнобедренной трапеции ОВСА угол Ð ВОА = 60°, M и N – середины сторон ВС и АС. Выразите векторы через - единичные векторы направлений .

2. Вычислите , если , где .

3. Найдите координаты четвертой вершины тетраэдра АВСD, если известно, что она лежит на оси ординат, объём тетраэдра равен 2,

А (0;1;1), В (4;3;-3), С (2;-1;1).

4. Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1, 2), В (11, -3), С (7, 5).

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости

8. Точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9. Найдите проекцию точки М (-1;0-1) на плоскость P: 2 x + 6 y - 2 z +11 = 0.

10. Докажите, что прямая лежит в плоскости .

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (5;-3;7) и радиус R = 1.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 17

1. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите координаты вектора в базисе, образованном векторами .

2. Даны три вектора: . Вычислите: .

3. Вектор перпендикулярен векторам , угол между
равен 30°. Зная, что , вычислите .

4. Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон ; ; .

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости, если

8. Укажите значение λ, при котором плоскости и будут перпендикулярны.

9. Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через ось ординат и точку

10. Найдите точки пересечения прямой с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (-1;5;2) и точки M (2;2;2) на ней.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 18

1. Даны три точки O, A, B, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы и , найдите координаты вектора , если точка М лежит на отрезке АВ и .

2. Вычислите работу силы при перемещении материальной точки из положения А (-1; 2; 0) в положение В (2; 1; 3).

3. Найдите проекцию вектора на вектор, составляющий с осью абсцисс угол в 60°, с осью ординат – 45°, а с осью аппликат - острый угол.

4. Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А (1, -2), В (11, -7) и точка К (7, 1) пересечения его высот.

5. Постройте кривую

6. Приведите кривую к каноническому виду.

7. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости

8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям

9. Докажите, что прямая пересекает ось аппликат.

10. Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки и - концы диаметра сферы.

12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями.

Вариант 19

1. Даны три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы и , найдите координаты вектора , если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и .

2. Пусть отличные от нуля векторы ортогональны. При каком значении параметра l вектор ортогонален вектору ?

Поиск по сайту: