Примечание. Теорема справедлива и в том случае, когда область управления не фиксирована, но зависит от и ,

Теорема справедлива и в том случае, когда область управления не фиксирована, но зависит от и , . Тогда максимизация в (2), (3), (5) выполняется при . В (6)(стр. 7),(7)(стр. 7) максимизациявыполняется при и , соответственно.

Часть множеств задается набором неравенств .

Если - пустое множество, то принимается соглашение, по которому максимум взят по этому множеству равен - .

Рассмотрим задачу, в которой

= ( - ), > 0, - заданные положительные числа

β = , r – уровень дисконтирования, 0 < < , γ (0, 1), A>0

Ищется

max ( + ) (I)

В соответствии со сделанным замечанием, = (0, x)

f(t, x, u) = , t = 0, 1, … T-1

f(T, x, u) = - эта функция от u не зависит, и ее максимум, равный совпадает с ней самой, = (II), и любое = (0, x) – оптимальное.

Из (6) получаем

= + (x-u))] (III)

При s = T-1

= + ] (IV),

так как

(x-u)) =

Для обозначим

g(u) = +

Тогда g’(u) = (1-γ) + (1-γ)(-1)

g’(u) =0 ó = (-1)

=

= 1 + = (V)

u =

так как g’(u) = (1-γ)(-γ) + (1-γ)(-γ) , < 0,

поэтому максимизирует g(u)

g () = + β A =

= + = (1 + β A ( -1)) =

β A =

= (1 + -1) = (VI)

Тогда ввиду (IV), (VI) (в (VI) вычитаем max y(u), подставляем в (IV))

(x) =

Отметим, что имеет тот же вид, что и

Для s= T-2

(x) =

По аналогии со сделанным выше находим, что максимум достигается при = u = , где = 1+ и где (x) =

Продолжая аналогично, находим для любого t

(x) = , где = A, а для при t<T имеем

= 1+ = 1 +

Оптимальное управление:

(x) = , t<T

Для нахождения оптимальных подставляем эти значения в рекурсивное уравнение

Предположим что для всех t тогда

линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом

=

См раздел 14 страница 1

Поиск по сайту: