Пусть мы ищем решение задачи

Найти

∞

Max∑ β^t(x_t, v_t)^{1- ɣ} (1)

x_t+1=a(1-v₁)x_t, t=0,1....

V_tÎ(0,1)

a>0, x₀>0, βÎ (0,1), ɣÎ (0,1)

β a^{1- ɣ} <1

, уравнение (8) имеет вид

(ii)

Задача напоминает задачу, в которой целевая функция была пропорциональна . Предположим, что и в этой похожей задаче при некоторой постоянной k.

Или, сокращая на > 0:

(iii)

Положим .

Тогда

или

или , где

(IV)

Так как ϕ’’(ϑ)<0, и так как ϑϵ(0;1).

Таким образом, в предположении, что

найдено максимизирующее управление (iv).

При этом из (iii)следует, что

,

Так как , получаем

Или

Откуда

Тогда (iv):

В итоге получаем:

В этом примере, однако

И условия ограниченности не выполнены.

Поэтому следует слегка изменить задачу, положив

Тогда

В новой задаче целевая функция равна

^~

Где , откуда 0< β<1.

Легко видеть, что удовлетворяет уравнению Беллмана для новой задачи (с тем же оптимальным значением ).

Условие ограниченности выполнено, т.к.

Таким образом в (IV) оптимальное.

, соответствующее x_z удовлетворяет уравнению

x_t+1 = a(1-u_t) x_t = a(1-u)x_u=ar x_t

При условии решением является x_{t =} x(ar)^t

Значение функции

И мы проверим, что значение целевой функции есть в такой в (V)

Важный вопрос, а существует ли искомые максимумы?

Если выполнены (2), ФУНКЦИИ f,g непрерывны и U компактна, то максимумы в (4) и(8) существует. Кроме этого, (8) имеет единственное решение, если использовать теорему о сжимающем отображении.

Поиск по сайту: