IV СЕМЕСТР

Часть 1

Часть 2

Вариант	№ вопроса
	R = 3	1; ; -1;
		Область определения есть I-ая четверть плоскости хОу
	у: х:
	-1
	df(xy)=7dx+3 dx+12ydy- dy	2,4(ед)

Часть 3

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10

Ответы на часть 3:

Используемые формулы в решении задач 3 части:

1) (1)

2) (2)

3)

4) (5)

5) (6)

Вариант 1

Решение: Найдем точки пересечения данных линий, для этого решим систему уравнений:

Решением будет пара значений (-3; 9) и (-2; 4) - координаты точек пересечения графиков

Область D запишем в виде системы неравенств

,

Согласно формуле (1), получим

Вариант 2

Решение: Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в I октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z = 2x+1, сбоку параболичес­ким цилиндром у =x и плоскостями х = 0 и у = 4, снизу

параболой у =x и прямыми х = 0 и у = 4. Найдем точки пересечения параболы у =x и прямой у = 4:

Получаем два решения: (-2; 4) и (2; 4). Значение не рассматриваем, т.к. цилиндр расположен в I октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ 4. Согласно формуле (3), получим

Вариант 3

Решение: Данное тело есть прямой круговой цилиндр, ограниченный сверху плоскостью

, а снизу — кругом в плоскости z=0. Область D в основании цилиндра запишем в виде системы неравенств

Согласно формуле (1), получим

Первый интеграл табличный и равен:

Второй интеграл вычисляется подстановкой ;следовательно, второй интеграл равен:

Окончательно находим

(куб. ед.).

Вариант 4

Решение: найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной пло­скостью:

,

Чтобы воспользоваться фор­мулой (2), решим уравнение данной плоскости относительно переменной z и найдем частные производные:

При z = 0 имеем х + 3у = 6, откуда ; следовательно, в плоскости z = 0 область D запишется в виде системы неравенств

. Тогда

Вариант 5

Решение: искомая поверхность образована пересечением двух цилиндров и . В эти уравнения поверхностей входят квадраты переменных, поэтому искомая поверхность симметрична относительно каждой из координатных плоскостей и для вычисления рассмотрим 1/8 ее часть, лежащую в I октанте.

Область интегрирования D представляет собой 1/4 часть круга , заключенного между положительными полуосями Ох и Оу, и определяется системой неравенств

Из уравнения имеем . Далее, находим частные производные

, откуда

Следовательно,

Вариант 6

Решение: вычислим значения данной функции и ее последовательных производных при х = 2:

…,

…,

Подставляя найденные значения и общее выражение ряда Тейлора для производной функции, получим Это и есть разложение ряд Тейлора по степеням (х – 2) для функции Полученный ряд сходится к порождающей его функции при любом значении х. Заметим, что искомое разложение можно получить также следующим образом. В разложение (3) заменим х на 5х; тем самым получим ряд Маклорена для функции . (*)

Представив теперь функцию в виде и подставляя в соотношение (*) (х – 2) вместо х, приходим к разложению

Вариант 7

Решение: пользуясь разложением (5), при х=2 получим

.

Остается решить вопрос о том, сколько членов данного ряда надо взять, чтобы получить значение с требуемой точностью. Пусть искомое число членов равно . Это означает, что ошибка , которую мы допускаем, заменяя сумму ряда его частичной суммой, равна сумме членов ряда, начиная с -го:

Если заменить каждое из чисел числом , то знаменатели дробей уменьшается, а сами дроби, следовательно, увеличиваются. Поэтому

Выражение, стоящие в квадратной скобке, есть сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем и

следовательно, равно . Таким образом,

Но, с другой стороны, ошибка не должна превосходить 0,01: Решая методом подбора неравенство

получим Итак, для достижения требуемой точности надо взять 8 членов ряда:

Вариант 8

Решение: данный определенный интеграл можно вычислить только приближенно. Для этого разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора . Отсюда

здесь мы ограничились двумя первыми этого знакопеременного ряда, так как третий

член 1/(5!5) меньше 0,01.

Вариант 9

Решение: Область D является простой отно­сительно осей Ох и Оу, поэтому для вычисления интеграла можно использовать любую из формул (3) или (4).

Сначала вычислим двойной интеграл по формуле (3):

Вычислив внутренний интеграл по переменной у при постоянном х, находим

Подставив это выражение во внешний интеграл, получим

Теперь вычислим двойной интеграл по формуле (4):

Найдем внутренний интеграл:

Далее найдем внешний интеграл:

т. е. получили тот же ответ.

Вариант 10

Решение: Согласно формуле (6), имеем

Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:

Теперь вычислим внешний интеграл по переменной х, подставив в него полученное выражение:

Поиск по сайту: