Определить накопленную сумму к концу срока ренты

Схематично условие задачи показано на рисунке.

100 тыс. руб. 100 тыс. руб. 100 тыс. руб.

·-------- S-?

01.01.1998 01.01.1999 01.01.2000 01.01.2001

Введем обозначения:

R — величина члена ренты;

— cложная процентная ставка;

n — срок ренты в годах.

Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты: на первый проценты начисляются (n-1) год, на второй — (n-2) года и т.д. На последний член проценты не начисляются.

Наращенные суммы к концу срока ренты составят:

На 1-й член

На 2-й член

На (n-1)-й член

На n-й член — R

Накопленная сумма к концу срока ренты составит сумму членов этого ряда, который, если его переписать в обратном порядке, является возрастающей геометрической прогрессией, где R — 1-й член прогрессии, а величина (1 + ) — знаменатель прогрессии. Сумму членов ряда, то есть наращенную сумму ренты, можно определить по формуле:

(3.1)

Величина называется коэффициентом наращения ренты, который обозначим как , где подстрочные символы указывают на срок ренты и применяемую процентную ставку. Тогда формула (3.1) примет вид:

. (3.2)

Значение коэффициента , а также значения ряда других финансовых коэффициентов, могут быть найдены из таблиц, имеющихся в любом учебном издании по финансовым вычислениям, в том числе и в данных рекомендациях. Кроме того, финансовые коэффициенты могут быть вычислены на компьютере с помощью финансовых функций, входящих в процессор Еxcel. Имеются также финансовые калькуляторы, предназначенные для проведения подобных расчетов.

По данным примера 1 рассчитаем наращенную сумму ренты:

тыс. руб.

Предположим, что в примере 1 взносы будут вноситься не в конце,
а начале каждого года. В этом случае имеем ренту пренумерандо. Каждый член такой ренты «работает» на один период больше, чем в ренте постнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее как , больше в (1+ ) раз наращенной суммы аналогичной ренты постнумерандо.

(3.3)

где S — наращенная сумма финансовой ренты постнумерандо.

В примере 1 для взносов в начале года наращенная сумма к концу срока ренты составит:

= 337,44 × (1+0,12) = 377,9328 тыс. руб.

Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы, когда рентный платеж производится один раз в году и начисление процентов также раз в году. Вместе с тем, в контрактах могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей и порядок начисления процентов на них.

Рассмотрим ряд вариантов.

1) Рентные платежи вносятся один раз в году, а проценты на них начисляются m раз в году. В этом случае начисление процентов каждый раз будет производиться по ставке j/m, где j — номинальная (годовая) ставка сложных процентов.

Величина наращенной суммы ренты постнумерандо будет определяться по формуле:

. (3.4)

Величина наращенной суммы ренты пренумерандо в этом случае будет определяться по формуле:

. (3.5)

Пример 2. Несколько изменим условия примера 1. Пусть теперь проценты начисляются два раза в год. Рента постнумерандо.

Имеем: j = 0,12 m = 2 R = 100 тыс. руб. n = 3	Решение: Так как рента годовая, постнумерандо, проценты начисляются два раза в год, то наращенная сумма определяется по формуле (1.4.):
S=?	тыс. руб.

2) Рентные платежи вносятся несколько раз в году равными суммами (р-срочная рента), а начисление процентов производится один раз в конце года.

Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается (p — количество выплат в году). Общее число членов ренты равно n × p. Ряд членов ренты постнумерандо с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее равен , знаменатель — .

Сумма членов этой прогрессии:

. (3.6)

Наращенная сумма для ренты пренумерандо в данной ситуации будет определяться по формуле

. (3.7)

Пример 3. Еще раз изменим условия примера 1, допустив, что ежегодный взнос разбивается на 4 равные части, которые будут вноситься в банк в начале каждого квартала: тыс. руб.

Определить накопленную сумму к концу срока ренты.

Имеем: R = 100 тыс. руб. р = 4 ic = 0,12 n = 3	Решение: Так как рента срочная (поквартальная), пренумерандо, проценты начисляются на платежи один раз в год, то наращенная сумма определяется по формуле (3.7.):
-?	= 100362,392 тыс. руб.

3) Рентные платежи вносятся несколько раз в году (р-срочная рента), число периодов начисления процентов в течение года равно числу рентных платежей (m = p).

В этом случае наращенная величина финансовой ренты постнумерандо:

. (3.8)

Наращенная сумма ренты пренумерандо:

. (3.9)

4) Рентные платежи вносятся р в году, начисление процентов – m раз в году; причем р m.

Наращенная сумма для ренты постнумерандо:

. (3.10)

Наращенная сумма для ренты пренумерандо:

(3.11)

Пример 4. В условиях примера 3, допустим, что проценты на взносы будут начисляться в конце каждого полугодия. Определить наращенную сумму для ренты постнумерандо.

Имеем: R = 100 тыс. руб. р = 4 m = 2 j = 0,12 n = 3	Решение: Так как рента срочная (поквартальная), постнумерандо, проценты начисляются два раз в год, то наращенная сумма определяется по формуле (3.10): тыс. руб.
S =?

Рассмотрены четыре примера определения наращенной суммы постоянной финансовой ренты. Сопоставив полученные результаты между собой, можно заметить, что величины наращенных сумм изменялись в зависимости от изменения условий ренты.

Зная, как влияют эти причины на данную характеристику финансовой ренты, целесообразно их использовать для получения наиболее выгодных условий при заключении контрактов.

Поиск по сайту: