Матрица наблюдений однофакторного дисперсионного комплекса

Средние этих выборок обозначим через . Для проверки гипотезы о равенстве средних нулевую гипотезу запишем как , альтернативную в виде .

Гипотеза Н₀ проверяется сравнением внутригрупповых и межгрупповых дисперсий по F -критерию. Если расхождение между ними незначительно, то нулевая гипотеза принимается. В противном случае нулевая гипотеза отвергается и делается заключение о том, что различия в средних обусловлено не только случайностями выборок, но и действием исследуемого фактора.

Для изучаемого признака характерно три типа изменчивости:

1. Факториальная (или групповая) изменчивость. Характеризуется тем, что для каждой из совокупностей имеется своя средняя арифметическая (). Разница в средних зависит, очевидно, от разного действия факторов;

2. Остаточная изменчивость. Характеризуется различными значениями признака внутри каждой градации. Эти различия не зависят от влияния фактора. Видимо, их причина лежит вне опыта, определяется неучитываемыми в данном анализе факторами.

3. Общая изменчивость. Заключается в том, что все наблюдения дисперсионного комплекса отличаются друг от друга (или иногда совпадают).

Мерой изменчивости признака в выборке служит сумма квадратов отклонений его значений от средней арифметической . Эта величина, отнесенная к числу наблюдений, дает меру рассеяния, именуемую дисперсией, которая и применяется в дисперсионном анализе.

1. Мерой факториальной изменчивости будет сумма квадратов отклонений средних значений групп () от общего среднего : . Эту величину иногда называют рассеиванием по факторам.

2. Мера остаточной изменчивости выразится суммой квадратов отклонений всех наблюдений в данной совокупности от среднего значения совокупности: .

3. Мерой общей изменчивости является сумма квадратов отклонений в дисперсионном комплексе от общего среднего: .

Тогда в соответствии с основной идеей дисперсионного анализа можно записать: S²_y=S²_x+S²_z или:

.

Вычислим факториальную и остаточную дисперсии, как меры соответствующих типов изменчивости признака в дисперсионном комплексе

.

В этих формулах фигурируют степени свободы (n_х, n_z, n_у), т.к. дисперсия s² и есть сумма квадратов отклонений в расчете на одну степень свободы. Число степеней свободы есть количество значений, необходимых для восстановления утерянного.

1. Число степеней свободы для факториальной дисперсии равно числу совокупностей без единицы (m -1), т.к. все группы связаны друг с другом лишь одним общим условием – значением средней арифметической всего дисперсионного комплекса ().

2. Число степеней свободы для остаточной дисперсии равно числу наблюдений в комплексе минус число совокупностей (mn-m) ибо все наблюдения связаны наличием в каждой группе своей средней арифметической ().

3. Число степеней свободы для вычисления общей дисперсии всего комплекса равно числу наблюдений в комплексе без единицы (mn- 1), ибо все наблюдения связаны только одним общим условием – наличием общей средней ().

Затем необходимо рассчитать доли влияния учтенного и неучтенного факторов как отношения соответствующих сумм квадратов отклонений:

.

Эти величины представляют собой не что иное, как квадраты корреляционных отношений. В сумме эти показатели должны всегда составлять 1 (100%). Теперь можно ответить на интересующий вопрос: насколько учитываемый фактор ответственен за изменчивость результативного признака и сколько процентов падает на долю неучтенных факторов.

Таблица 2.4

Поиск по сайту: