АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнения, приводящиеся к линейным дифференциальным уравнениям первого порядка

Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. I. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим.
  3. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  4. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  5. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  6. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  9. ZTRFRATE (ЗП.ТС.Ставки первого разряда)
  10. А. Блага высшего порядка в своем характере благ обусловлены наличием в нашем распоряжении соответственных комплементарных благ.
  11. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  12. Анализ порядка определения и формирования цены ДР.
Уравнение Бернулли
 
Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде где a (x) и b (x) − непрерывные функции. Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки Новое дифференциальное уравнение для функции z (x) имеет вид и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Пример 1
 
Найти общее решение уравнения y' − y = y2ex. Решение. Для заданного уравнения Бернулли m = 2, поэтому сделаем подстановку Дифференцируя обе части уравнения (переменная y при этом рассматривается как сложная функция x), можно записать: Разделим обе части исходного дифференциального уравнения на y 2: Подставляя z и z', находим: Мы получили линейное уравнение для функции z (x). Решим его с помощью интегрирующего множителя: Общее решение линейного уравнения выражается формулой Возвращаясь к функции y (x), получаем ответ в неявной форме: который можно записать также в виде: Заметим, что при делении уравнения на y 2 мы потеряли решение y = 0. В результате, полный ответ записывается в виде:
Пример 2
 
Решить дифференциальное уравнение . Решение. Нетрудно заметить, что данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Чтобы решить его, выполним подстановку После дифференцирования получаем: Разделим исходное уравнение на y 2 и заменим y на z: При делении на y 2 мы потеряли решение y = 0. (Это можно проверить прямой подстановкой.) Дифференциальное уравнение для новой переменной z имеет вид: Мы получили линейное уравнение для функции z (x), которое можно решить, например, с помощью интегрирующего множителя: Легко проверить, что таким интегрирующим множителем будет являться функция 1/ x. В самом деле: Видно, что левая часть уравнения после умножения на 1/ x будет являться произведением z (x) u (x) Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения для функции z (x) определяется формулой Принимая во внимание, что y = 1/ z, записываем ответ в форме: или в неявном виде: Следовательно, окончательный ответ имеет вид:
Пример 3
 
Найти все решения дифференциального уравнения y' + y cot x = y 4 sin x. Решение. В этом примере мы имеем дело с уравнением Бернулли с параметром m = 4. Поэтому, сделаем подстановку z = y 1 − m = y −3. Производная будет равна Умножим обе части исходного уравнения на (−3) и разделим на y 4: Заметим, что при делении на y 4 мы потеряли решение y = 0. Записывая последнее уравнение через переменную z, получаем Данное дифференциальное уравнение является линейным. Его можно решить, например, используя интегрирующий множитель: В качестве интегрирующего множителя возьмем функцию . После умножения на u (x) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z (x) u (x): Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения для функции z (x) п редставляется в виде: Поскольку z = y−3, то мы получаем следующие решения исходного уравнения Бернулли:
Пример 4
 
Найти все решения дифференциального уравнения . Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помошью замены . Производная новой функции z (x) будет равна Разделим исходное уравнение Бернулли на . Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать: Заменяя y на z, находим: Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z (x). Интегрирующий множитель здесь будет равен Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u (x) = x. Можно проверить, что после умножения на u (x) левая часть уравнения бедут представлять собой производную произведения z (x) u (x): Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением: Возвращаясь к исходной функции y (x), записываем решение в неявной форме: Итак, полный ответ имеет вид:
Пример 5
 
Найти решение дифференциального уравнения 4 xyy' = y 2 + x 2, удовлетворяющее начальному условию y (1) = 2. Решение. Сначала мы проверим, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли: Как видно, мы имеем уравнение Бернулли с параметром m = −1. Следовательно, можно сделать замену z = y 1 − m = y 2. Производная будет равна: z' = 2 yy'. Далее, умножим обе части дифференциального уравнения на 2 y: Заменяя y на z, преобразуем уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение: Вычислим интегрирующий множитель: Найдем общее решение линейного уравнения: Учитывая, что z = y 2, решение можно записать в виде: Теперь определим константу C, соответствующую начальному условию y (1) = 2. Видно, что только решение с положительным знаком удовлетворяет данному условию. Следовательно, В результате получаем: C = 4. Итак, решение задачи Коши выражается функцией
Уравнение Риккати
 
Общее уравнение Риккати Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в форме: где a (x), b (x), c (x) − непрерывные функции, зависящие от переменной x. Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах. Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати. Его решение основано на следующей теореме: Теорема: Если известно частное решение y 1 уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой Действительно, подставляя решение y = y 1 + u в уравнение Риккати, имеем: Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку y 1 − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции u (x): которое является уравнением Бернулли. Подстановка z = 1/ u преобразует данное уравнение Бернулли влинейное дифференциальное уравнение, допускающее интегрирование. Помимо общего уравнения Риккати, существует множество частных случаев уравнения Риккати с коэффициентами a (x), b (x), c (x) определенного вида. Многие из этих частных случаев имеют интегрируемые решения. Возвращаясь вновь к общему уравнению Риккати, мы видим, что общее решение можно сконструировать, если известно какое-либо частное решение. К сожалению, не существует строгого алгоритма для нахождения частного решения, которое существенно зависит от вида функций a (x), b (x) и c (x). Ниже мы рассмотрим некоторые хорошо известные частные случаи уравнения Риккати. Частный случай 1: Коэффициенты a, b, c − константы. Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то такое уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. В этом случае общее решение описывается интегралом от рациональной функции с квадратичным трехчленом в знаменателе: Этот интеграл легко вычисляется при любых значениях a, b и c (Смотрите более подробно об этом на странице "Интегрирование рациональных функций"). Частный случай 2: Уравнение вида y' = by 2 + cx n Рассмотрим уравнение Риккати вида y' = by 2 + cxn, когда функция a (x) при линейном члене равна нулю, коэффициент b при y 2 является константой, а c (x) является степенной функцией: Этот случай уравнения Риккати имеет замечательные решения! Прежде всего, заметим, что если n = 0, то мы снова приходим к случаю 1, в котором переменные разделяются и уравнение можно проинтегрировать. Если n = −2, то уравнение Риккати преобразутся в однородное уравнение с помощью подстановки y = 1/ z и далее также допускает интегрирование. Данное дифференциальное уравнение можно также решить при Здесь общее решение выражается через цилиндрические функции. При всех других значениях степени n решение уравнения Риккати можно выразить через интегралы от элементарных функций. Этот факт был установлен французским математиком Джозефом Лиувиллем (1809-1882) в 1841 году. Многие другие частные случаи уравнения Риккати представлены на сайте EqWorld.
Пример 1
 
Решить дифференциальное уравнение y' = y + y 2 + 1. Решение. Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:
Пример 2
 
Решить уравнение Риккати . Решение. Будем искать частное решение в форме: Подставляя это в уравнение, находим: Получаем квадратное уравнение для c: Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену: Снова подставим это в исходное уравнение Риккати: Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену: Разделим уравнение Бернулли на z 2 (полагая, что z ≠ 0) и запишем его через переменную v: Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя: Общее решение линейного уравнения определяется функцией Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/ v, то общее решение для z записывается следующим образом: Следовательно, Можно переименовать константу: 3 C = C 1 и записать ответ в виде где C 1 − произвольное действительное число.
Пример 3
 
Найти общее решение дифференциального уравнения x 3 y' + x 2 y − y 2 = 2 x 4. Решение. Приведем уравнение к стандартному виду: Видно, что мы имеем дело с уравнением Риккати. Попробуем найти частное решение в форме y 1 = cx 2. Подставляя это в дифференциальное уравнение, можно определить коэффициент c: Решая квадратное уравнение, находим значение c:: Итак, мы получили даже два частных решения. Поскольку достаточно знать только одно, то выберем, например, y 1 = x 2. В результате можно записать общее решение уравнения Риккати в форме: Для новой функции u (x) получаем следующее дифференциальное уравнение: которое представляет собой уравнение Бернулли. Подстановка преобразует его в линейное дифференциальное уравнение: Чтобы решить это линейное уравнение, вычислим интегрирующий множитель: Можно взять функцию v (x) = x в качестве интегрирующего множителя. В самом деле, можно убедиться, что после умножения на v (x) = x левая часть уравнения становится производной произведения z (x) v (x). Общее решение линейного дифференциального уравнения имеет вид: Поскольку z = 1/ u, то функция u (x) определяется формулой Следовательно, общее решение исходного уравнения Риккати выражается функцией где C − произвольная постоянная.
Пример 4
 
Решить уравнение . Решение. Видно, что данное уравнение является частным случаем уравнения Риккати вида y' = by 2 + cxn со степенью n = −2. Сделав подстановку y = 1/ z, можно преобразовать это уравнение в однородное и затем проинтегрировать. Пусть . Тогда Для решения однородного уравнения сделаем еще одну замену: z = tx, z ' = t ' x + t. Следовательно, Трехчлен в знаменателе дроби в левой части можно разложить следующим образом: и затем рациональную дробь в подынтегральном выражении с помощью метода неопределенных коэффициентов можно разложить на сумму простых дробей: В результате мы получаем: Переобозначим константу: , так что решение для функции t (x) будет иметь вид: Вспомним, что . Поэтому Возвращаясь к переменной y, которая связана с z соотношением , находим: Последнее выражение представляет собой общее решение заданного уравнения Риккати в неявной форме. Здесь постоянная C является любым действительным числом. Действительно, подставляя C = 0, мы видим, что это значение также удовлетворяет дифференциальному уравнению: Следовательно,

 

Уравнения, не разрешенные относительно производной
 
Определение и методы решения Уравнение вида где F − непрерывная функция, называется уравнением первого порядка, не разрешенным относительно производной. Если это уравнение можно решить относительно y', то мы получаем одно или несколько явных дифференциальных уравнений вида которые решаются методами, рассмотренными в других разделах. Далее мы предполагаем, что дифференциальное уравнение не приводится к явной форме. Основной метод решения таких неявных уравнений − это метод введения параметра. Ниже мы покажем, как этот метод используется для нахождения общего решения для некоторых важных частных случаев уравнений, не разрешенных относительно производной. Отметим, что общее решение может не покрывать все возможные решения дифференциального уравнения. Помимо общего решения, дифференциальное уравнение может также содержать так называемые особые решения. Более детально это рассматривается на странице Особые решения дифференциальных уравнений. Случай 1. Уравнение вида x=f(y,y'). В этом случае переменная x выражается явно через переменную y и ее производную y'. Введем параметр . Продифференцируем уравнение x = f (y,y') по переменной y. Получаем: Поскольку , то последнее выражение можно переписать в виде: Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией где C − произвольная постоянная. Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений: Если из этой системы исключить параметр p, то общее решение можно выразить в явном виде x = f (y,C). Случай 2. Уравнение вида y=f(x,y'). Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная y явно зависит от x и y'. Введем параметр и продифференцируем уравнение y = f (x,y') по переменной x. В результате имеем: Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение g (x,p,C) = 0. Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений: которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр p можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме y = f (x,C). Case 3. Уравнение вида x=f(y'). В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную y. Используя параметр , легко построить общее решение уравнения. Так как dy = pdx и то справедливо соотношение: Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме: Случай 4. Уравнение вида y=f(y'). Уравнение такого типа не содержит переменную x и решается аналогичным образом. Используя параметр , можно записать: Отсюда следует, что Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме:
Пример 1
 
Найти общее решение уравнения g (y')2 − 4 x = 0. Решение. Это уравнение относится к типу x = f (y') (Случай 3). Введем параметр p = y' и запишем уравнение в виде: Возьмем дифференциалы обеих частей уравнения: Поскольку dy = pdx, то последнее выражение можно представить как Интегрируя, находим зависимость переменной y от параметра p: где C − произвольная постоянная. Таким образом, мы получили общее решение уравнения в параметрической форме: Параметр p можно исключить из системы уравнений. Из второго уравнения находим: После подстановки в первое уравнение получаем общее решение в виде явной функции y = f (x):
Пример 2
 
Найти общее решение дифференциального уравнения y = ln(25 + (y')2). Решение. Это дифференциальное уравнение относится к случаю 1, поскольку оно содержит переменную y и ее производную y'. Используя параметр p, мы можем переписать это уравнение в следующем виде: Возьмем дифференциалы от обеих частей: Поскольку dy = pdx, то получаем: Теперь можно проинтегрировать последнее выражение и найти x как функцию p. В итоге мы получаем следующее параметрическое представление решения дифференциального уравнения: где C − произвольная постоянная.
Пример 3
 
Решить дифференциальное уравнение 2 y = 2 x 2 + 4 xy' + (y')2. Решение. Данное уравнение соответствует частному случаю 2. Пусть y' = p, так что уравнение можно переписать в виде: Найдем дифференциалы обеих частей уравнения, учитывая, что dy = pdx. В результате получаем: Последнему уравнению удовлетворяют два решения. Первое решение имеет вид: Следовательно, Интегрируя это простое уравнение, получаем: где C − произвольная постоянная. Чтобы определить значение C, подставим полученный ответ в исходное дифференциальное уравнение: Видно, что постоянная C должна быть равна нулю, чтобы удовлетворить уравнению. Следовательно, первое решение выражается функцией Теперь рассмотрим второе решение, которое определяется дифференциальным уравнением Тогда В начале решения мы записали дифференциальное уравнение в форме Подставляем известное выражение для x (как функцию параметра p), чтобы найти зависимость y от p: Таким образом, второе решение описывается в параметрической форме следующей системой уравнений: где C − произвольная постоянная. Окончательный ответ выглядит так:

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)