Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ

Теорема 1 (Ролля). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

Теорема 2 (Коши). Если функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Теорема 3 (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

.

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении.

Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция на этом промежутке постоянна.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

2. Правила Лопиталя – способ раскрытия неопределенностей вида и , который основан на применении производной.

Теорема 4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то .

Замечания: 1. Теорема верна и в случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и .

2. Теорема справедлива и в случае, когда . Действительно, положив , получим .

3. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и , теорему можно применить еще раз: и т.д.

Теорема 5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, самой точки ), в этой окрестности . Если существует предел , то .

Поиск по сайту: