АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Максимум и минимум функций

Читайте также:
  1. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  2. IIІ Исследование функций
  3. Ms Excel: мастер функций. Логические функции.
  4. Автоматизация функций в социальной работе
  5. Алг «нахождение минимума»
  6. Алг «поиск минимума»
  7. Алг «сумма и максимум»
  8. Алгоритм метода сопряжённых направлений Пауэлла для оптимизации квадратичных функций.
  9. Алгоритм построения графиков функций вида
  10. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛИСТОВ ПО СТРАТЕГИЧЕСКОМУ МЕНЕДЖМЕНТУ И ПОЛНОМОЧИЙ ОРГАНОВ УПРАВЛЕНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ, ПРИНИМАЮЩИХ СТРАТЕГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
  11. Анализ функций управления
  12. Аналитический метод решения задачи. Условия максимума функции одной переменной.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: .

Геометрически равенство означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси . Кстати, обратная теорема неверна. Т.е., если , то это совсем не значит, что - точка экстремума.

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция в точке производной не имеет, но точка - точка минимума.

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Теорема 9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем №8 и №9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1) найти критические точки функции ;

2) выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

3) исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

4) в соответствии с теоремой №9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема 10. Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная в точке существует и отлична от нуля, то при в точке функция имеет максимум и минимум при .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)