Ответ: –11

Пример 5. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.)

Пусть Решить неравенство f(g(x – 9)) ≥ f(4).

Решение. Поскольку то

Так как f(4) = 1, то неравенство f(g(x – 9)) ≥ f(4) примет вид:

Пусть тогда t ≥ 0 и имеем систему:

Возвращаясь к переменной x, получим:

Ответ: [9; 18) (18; 25].

Пример 6. (Московская межвузовская олимпиада, 2009, № 5.) Пусть Найти значение функции в точке x = 4.

Решение. Установим вид функции для первых трех натуральных значений n.

При

При

При

Возникает предположение, что

Докажем это утверждение методом математической индукции.

При n = 1, согласно условию задачи, Утверждение истинно.

Пусть при n = k утверждение истинно, и функция имеет вид:

Докажем, что при n = k + 1 функция имеет вид:

Действительно,

Что и требовалось доказать.

Итак, при всех натуральных n. Следовательно, при n = 2009:

В последнем соотношении выражение, заключенное в скобки, представляет собой сумму первых 2009 членов геометрической прогрессии со знаменателем и первым членом, равным 2. Тогда или

Подставляя в последнее соотношение x = 4, получим ответ:

Ответ: 3 + 3–2009.

Пример 7. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Построить график функции y = 3| f(f(x)) | + 1, где

Решение. Выполним (по определению композиции функций) формальные преобразования:

Найдем область определения функции f(f(x)):

Таким образом, функция y = 3∙| f(f(x)) | + 1 может быть представлена в виде:

График функции y = 3∙| f(f(x)) | + 1 изображен на рисунке 1.

Пример 8. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию где f(x) = 1 – | x |.

Решение. Преобразуем уравнение, задающее на плоскости Oxy искомое множество точек:

Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению очевидно, симметрично относительно координатных осей. Поэтому можно изобразить точки этого множества в первой координатной четверти, а затем окончательно достроить его, последовательно симметрично отразив относительно осей Ox и Oy. Итак, при x ≥ 0 и y ≥ 0 уравнение

примет вид

Тогда, раскрывая по определению модуль, получим:

Поскольку при 0 ≤ x < 1 значения отрицательны, то в I координатной четверти нет точек, удовлетворяющих системе

Множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих системе

изображено на рисунке 2.

Окончательно, графическое изображение множества точек на плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию показано на рисунке 3.

Пример 9. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Построить график функции y = f(f(x)), где

Решение. По определению композиции функций:

Формально возможны следующие четыре случая:

Найдем значения переменной x, при которых выполняется каждый из этих четырех случаев.

Первый случай выполняется, когда

Второй случай выполняется, когда

Третий случай выполняется, когда

Четвертый случай выполняется, когда

Таким образом, График функции y = f(f(x)) изображен на рисунке 4.

Пример 10. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наименьшему значению многочлена g(t) = t² – 6t + 8 на отрезке [x + 1; x + 2]. Постройте график функции f(x).

Решение. Приведем функцию g(t) к виду: g(t) = (t – 3)² – 1.

Графиком функции g(t) является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (3; –1). Значит, наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно –1, если 3 ∈ [x + 1; x + 2], то есть, записав систему неравенств получим x ∈ [1; 2].

Если 3 [x + 1; x + 2], то наименьшее значение функции g(t) достигается на левом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае 3 < x + 1) или на правом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае 3 > x + 2).

Следовательно, если x > 2, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно g(x + 1) = (x + 1 – 3)² – 1 = (x – 2)² – 1.

Если же x < 1, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно g(x + 2) = (x + 2 – 3)² – 1 = (x – 1)² – 1.

Окончательно получим:

График функции f(x) изображен на рисунке 5.

Далее рассмотрим тип задач, в которых надо найти функцию, если задано некоторое уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает сама функция. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. В дальнейшем будем рассматривать функциональные уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одной переменной с помощью операции образования сложной функции. Отметим также, что функциональные уравнения можно рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций. Например, f(x) = f(–x) — уравнение четности, f(x + T) = f(x) — уравнение периодичности и т.д.

Рассмотрим сначала задачи, в которых требуется найти значения функции, не заданной явно, но обладающей свойствами четности (нечетности), периодичности, или когда из данного функционального уравнения надо вывести (доказать) указанные свойства.

Пример 11. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 10. Найти значение f(2004), если f(–4) = 1,5.

Решение. Воспользуемся вначале условием периодичности функции f(x). Тогда f(2004) = f(4 + 10∙200) = f(4).

Поскольку функция f(x) нечетная, то f(–x) = –f(x), следовательно,

f(4) = –f(–4) = –1,5.

Поиск по сайту: