Задачи для самостоятельного решения. 1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40

1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40. Найдите значение f(2004), если f(–4) = –4,5.

2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найдите значение f(f(1)), если

3. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.) Пусть

Решите неравенство f(4) ≤ g(f(x + 3)).

4. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Постройте график функции y = 2∙| f(f(x)) | – 1, где

5. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

где f(x) = x – 2.

6. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Постройте график функции y = f(f(x)), где

7. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наибольшему значению многочлена g(t) = –t² – 8t – 15 на отрезке [x – 3; x + 1]. Постройте график функции f(x).

8. Найдите f(x), если:

9. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство

имеет место для всех действительных x. Докажите, что функция f(x) является периодической с периодом 2.

10. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 0 ни при каком значении x, удовлетворяет равенству Найдите f(2004), если f(8) = 5.

11. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 6 и f(x) = 3x – x² при x ∈ [0; 3]. Вычислите сумму

f(1) + f(2) +... + f(100).

12. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найдите f(x), если для всех x имеет место соотношение xf(x) + f(2 – x) = 2(x + 1).

13. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству f(x + 4) = 2x – 1 – f(x), а при x ∈ [0; 4) задается формулой f(x) = x² – 3x.

Найдите f(135).

14. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению 2f(x + 2) + f(4 – x) = 2x + 5?

15. (МГУ, химический факультет, 2001, № 7.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1. Найдите f(2001), если f(0) = 0.

16. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство f(x + y) = f(x)∙f(y). Известно, что f(4) = 16. Найдите f(–1,5).

17. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение

x⁶ – | 7 – 6x |3 = 26cos x² – 26cos (7 – 6x).

18. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение

x⁶ – | 4x + 3 |3 = 25cos x² – 25cos (4x + 3).

Ответы:

1. 4,5. 2. 9. 3. [8,5; 13) c (13; +∞).

4.

5.

6.

7.

8. а) f(x) = x² – 5x + 6;

б) f(x) = x² – 14;

в) f(x) = x² – 2, x ≠ 0;

г) f(x) = 12 – x²;

д)

е)

10. 0,8. 11. 2. 12. f(x) = 2.

13. 133. 14. Существует (и единственная!)

15. 2001². Указание. Достаточно доказать, что функция f(x) удовлетворяет функциональному уравнению f(x + a) = f(x – a) + 4ax при любом натуральном a. Это можно сделать, например, с помощью метода математической индукции. Тогда, положив x = a, из уравнения f(2a) = f(0) + 4a² можно вычислить f(2000): f(2000) = = 20002. Тогда получим f(2000 + 1) = f(2000) + + 2∙2000 + 1, или f(2001) = 20012. Замечание. Можно также доказать, что общее решение исходного функционального уравнения имеет вид f(x) = x² + g(x), где g(x) — произвольная периодическая функция с периодом T = 1, определенная на всей числовой прямой.

16. Указание. Установите вначале, что f(0) = 1. Затем, показав, что f(x) ≠ 0, докажите равенство Выведите для всех натуральных n соотношение f(nx) = nⁿ(x). Поскольку f(4) = f(8∙0,5) или 16 = f⁸(0,5), то

(Подумайте, почему f(x) > 0.) Тогда f(1,5) = f(3∙0,5). Замечание. Можно также доказать, что f(x) = 2^x для рациональных x.

17.

В. Бардушин;

А. Белов;

А. Прокофьев;

Т. Фадеичева

Поиск по сайту: