Ответ: да, верно

В заключение статьи рассмотрим задачу C5 одного из вариантов ЕГЭ по математике 2009 года.

Пример 23. Решить уравнение

87cos x² + (8 – 6x)⁴ = x⁸ + 87cos (8 – 6x).

Решение. Приведем исходное уравнение к виду

x⁸ – 87cos x² = (8 – 6x)⁴ – 87cos (8 – 6x).

Введем непрерывную четную функцию f(t) = t⁴ – 87cos t.

Найдем ее производную: f '(t) = 4t³ + 87sin t.

При t ∈ (0; π) f '(t) = 4t³ + 87sin t > 0 + 0 = 0,

при t ∈ [π; +∞) f '(t) = 4t³ + 87sin t > 4π³ – 87 > 4∙3³ – 87 = 4∙27 – 87 > 0.

Таким образом, f'(t) > 0 при t ∈ (0; +∞), следовательно, f(t) возрастает на промежутке [0; +∞). Значит, каждое свое значение функция принимает в точности в двух симметричных относительно t = 0 точках (если t = 0, то исходное уравнение не имеет решений, так как при x² = 0 не выполняется 8 – 6x = 0), а стало быть, исходное уравнение равносильно совокупности:

Ответ:

В заключение читателю предлагается подборка заданий для самостоятельного решения с ответами. Авторы не сомневаются, что решение этих задач поможет учащимся при подготовке к различным творческим и аттестационным испытаниям.

Поиск по сайту: