Ответ: –1

Пример 13. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство f(x + 2) = –f(x) имеет место для всех действительных x. Доказать, что функция f(x) является периодической с периодом 4.

Решение. Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение f(x + 2) = –f(x) примет вид f(t) = –f(t – 2).

В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим: f(x) = –f(x – 2). Подставим последнее выражение для f(x) в исходное уравнение и выполним преобразования: f(x + 2) = –(–f(x – 2)) ⇔ f(x + 2) = f(x – 2).

Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение f(x + 2) = f(x – 2) примет вид: f(u + 4) = f(u) ⇔ (переобозначение: u ↔ x) ⇔ f(x + 4) = f(x).

Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом 4. Ч. и т.д.

Пример 14. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 1 ни при каком значении x, удовлетворяет условию Найти f(2000), если f(2) = 3.

Решение. Докажем, что функция f(x) является периодической и найдем ее период.

Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение примет вид

В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим:

Подставим последнее выражение для f(x) в исходное соотношение и выполним преобразования:

Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение примет вид:

Пусть v = x + 4, тогда x = v – 4, и соотношение

Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение и выполним преобразования:

Пусть w = x – 4, тогда x + 4 = w + 8, и уравнение f(x + 4) = f(x – 4) примет вид: f(w + 8) = f(w) ⇔ (переобозначение: w ↔ x) ⇔ f(x + 8) = f(x).

Таким образом, функция f(x) является периодической с периодом 8. Отсюда следует, что значение функции f(x) при x = 2000 будет равно значению f(x) при x = 8, так как 2000 = 8∙249 + 8.

Найдем:

Следовательно, f(2000) = f(8) = 0,5.

Поиск по сайту: