Ответ: 47,5

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если при подстановке ее в уравнение последнее превращается в тождество при всех значениях аргумента в области ее определения. Решить функциональное уравнение означает установить, имеет ли оно решения, и найти их, если таковые имеются.

Пример 16. (LXVIV Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2006, № 3.) Найти все такие функции f(x), что

f(2x + 1) = 4x² + 14x + 7.

Решение. Пусть t = 2x + 1, тогда

Совершив замену переменной в уравнении f(2x + 1) = 4x2 + 14x + 7,

получим:

В последнем соотношении для функции f(t) вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая переменная (буква). Поэтому, заменив букву t на букву x, получим: f(x) = x² + 5x + 1.

Ответ: f(x) = x² + 5x + 1.

Пример 17. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найти f(x), если для всех x ≠ 0 имеет место соотношение

Решение. Предположим, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению существует. Тогда можно выполнить описанные ниже преобразования.

Пусть тогда и исходное уравнение примет вид:

Получаем систему

Из первого уравнения системы выразим

Подставим во второе уравнение системы. Получим:

По условию x ≠ 0. Поэтому, умножив обе части последнего уравнения на 2x и приведя подобные члены, получим соотношение: f(x)∙(x – 1)² = (x – 1)².

Отсюда следует, что f(x) = 1 при x ≠ 1. При x = 1 из исходного уравнения

получаем f(1) = 1.

Проверкой убеждаемся, что функция f(x) = 1 при всех x ≠ 0 удовлетворяет условию задачи.

Замечание. В условии данной задачи не было указано, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению существует. Предположив, что такая функция f(x) имеется, мы осуществили логический переход к следствию. Поэтому проверка в этой ситуации необходима.

Ответ: f(x) = 1, x ≠ 0.

Пример 18. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению

f(x + 1) + f(2x) = (x + 1)²?

Решение. Функция f(x) является линейной тогда и только тогда, когда она может быть задана формулой f(x) = kx + b.

Тогда f(x + 1) = k(x + 1) + b, f(2x) = k∙2x + b.

Следовательно, должны существовать такие единственные k и b, что для всех значений x будет выполняться равенство:

k(x + 1) + b + 2kx + b = (x + 1)2 ⇔ ⇔ 3kx + (k + 2b) = x2 + 2x + 1.

Полученное равенство не может выполняться при любых значениях x (многочлен первой степени 3kx + (k + 2b) не при всех x может равняться многочлену второй степени x² + 2x + 1). Это означает, что линейной функции, удовлетворяющей данным условиям, не существует.

Поиск по сайту: