 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Оценка точности многократных прямых измерений
Пусть при повторении измерений физической величины х в одинаковых условиях получили некоторые значения: х1 ,х2,...., хn (п — число измерений). Это означает, что: а) есть причины, приводящие к случайному отклонению каждого из измеренных значений xi от являющегося постоянным в условиях опыта х ист (например, случайные помехи, трение в измерительных узлах и т. п.);
б) измеряемая величина х имеет случайный (статистический) характер, подобно тому, как случайно меняется во времени, например, транспортный поток на магистрали.
В случае а) наилучшей оценкой х ист является среднее арифметическое найденных значений xi:
х ист» 
(5)
В случае б) смысл 
, очевидно, исчерпывается его определением как среднего измеренных значений xi. Погрешность Dх, которую в этих условиях называют случайной, оценивают по формуле 6.
(6)
где находят из соотношения (5), а п ≥2.
Для оценки полной погрешности Dх необходимо знать и Dхсл, и Dхсист. Тогда
Dх = 
(7)
и результат измерений записывают в виде х = ± Dх (8)
где и Dх определяются соотношениями (5) и (7).
Из анализа формулы (7) вытекает, что бессмысленно добиваться такого результата, при котором 
. Наоборот, необходимое число измерений п можно определить из условия 
Dxсист, и почти всегда достаточно взять п 10. Опыт показывает, что в студенческой лаборатории число измерений физических величин обычно равно 3—4.
Замечания:
1. Бессмысленно записывать в (8) с точностью, значительно превышающей значение D х. Например, запись х = 5,6184 ± 0,7 некорректна Правильно: х = 5,6 ± 0,7.
2, Погрешность D х следует записывать до одной-двух значащих цифр. Например, запись х = 5,61 ± 0,7232 лишена смысла. Правильно: х = 5,6 ± 0,7.
При наличии случайных погрешностей появление того или иног о значения xi в процессе измерения является случайным событием. Для каждого интервала значений величины xi с уществует некоторая вероятность того, что результат очередного измерения попадёт в этот интервал. Эта вероятность зависит от ширины и расположения интервала на оси x, как показывается в теории вероятностей, определяется законом нормального распределения Гаусса* (см. рекомендуемую литературу):
(9)
где s2 — постоянная величина, называемая дисперсией распределения. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины 
, которое при бесконечно большом количестве измерений (п →∞ ) совпадает с её истинным значением, и дисперсией s2.
Доверительным интервалом называют интервал (xi, — D xi, xi + D xi,), в который по определению попадает истинное значение х измеряемой величины с заданной вероятностью.
Надежностью результата серии измерений называют вероятность α того, что истинное значение х измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, выражается α или в долях единицы, или в процентах.
Чем больше доверительный интервал, т. е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений Δx, тем с большей надежностью искомая величина х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа п произведенных измерений, а также от задаваемой погрешности Δx.
Так, при n ≥ 30, выбирая Δx равным s, мы получим значение α 
0,68.
* В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом.
1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности, как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения встречаются одинаково часто.
2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются значительно реже, чем малые, т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины.
В случае большого числа измерений (п → ∞) величина s, входящая в закон (9), оказывается равной среднеквадратичной погрешности отдельного измерения Δxсл:
(10)
Полученное в данной серии измерений значение величины х принимается равным 
. Величина D x сл характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше D x сл, тем точнее проведено измерение.
Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению и s.
Если при измерении абсолютная погрешность Δx > 3s, то это измерение следует отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3s обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3s берут абсолютную погрешность измерительного прибора).
Смысл s как меры приближения измеренного значения величины к истинному значению х ист определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами, заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора; следовательно, даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.
Поскольку нет смысла стремиться к очень большому числу измерений, то возникает вопрос: как изменяется надежность при изменении числа измерений? Зависимость эта сложна и не выражается в элементарных функциях.
Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал [± S x ], чтобы при определенном числе измерений п получить заданную надежность α (таблица 1).'
За стандартный принимают интервал [± S x ], где
(11)
Порядок обработки результатов измерений следующий:
— выполняют n измерений и записывают их результаты в таблицу;
— вычисляют по (5) 
;
— по формуле (11) вычисляют S x и находят по таблице коэффициент Стьюдента t (α, п) в зависимости от заданной надежности a и числа измерений п;
— результат записывают в виде
(12)
Это означает, что истинное значение измеряемой величины х ист находится в интервале [ 
— - t(α, n) Sx; х + t(α, n) Sx;] с надежностью α.
Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (в %):
(13)
Обратную ей величину y = 1/ dx. называют точностью измерений.
Таблица 1Коэффициенты Стьюдента
|
Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, часто решают и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определяют необходимое число измерений в серии.
Поиск по сайту: