АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Оценка точности многократных прямых измерений

Читайте также:
  1. I. Оценка изменения величины и структуры имущества предприятия в увязке с источниками финансирования.
  2. I. ОЦЕНКА НАУЧНОГО УРОВНЯ ПРОЕКТА
  3. I.Описание оборудования для проведения измерений
  4. II РЕСЕНТИМЕНТ И МОРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА
  5. II Универсальная оценка остаточного члена
  6. III. Гигиеническая оценка условий труда
  7. III. Количественная оценка влияния показателей работы автомобиля на его часовую производительность
  8. III. Оценка давления и температуры воздуха в КС.
  9. IV. Оценка травмобезопасности рабочих мест
  10. N – число измерений.
  11. V. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ
  12. XVII. Эпидемиологический анализ и оценка эффективности противоэпидемических мероприятий

Пусть при повторении измерений физической величины х в одинаковых условиях получили некоторые значения: х1 2,...., хn (п — число измерений). Это означает, что: а) есть причины, приводящие к случайному отклонению каждого из измеренных значений xi от являющегося постоянным в условиях опыта х ист (например, случайные помехи, трение в измерительных узлах и т. п.);

б) измеряемая величина х имеет случайный (статистический) характер, подобно тому, как случайно меняется во времени, например, транспортный поток на магистрали.

В случае а) наилучшей оценкой х ист является среднее арифметическое найденных значений xi:

х ист» (5)

В случае б) смысл , очевидно, исчерпывается его определением как среднего измеренных значений xi. Погрешность Dх, которую в этих условиях называют случайной, оценивают по формуле 6.

 

(6)

где находят из соотношения (5), а п ≥2.

Для оценки полной погрешности Dх необходимо знать и Dхсл, и Dхсист. Тогда

Dх = (7)

и результат измерений записывают в виде х = ± Dх (8)

где и Dх определяются соотношениями (5) и (7).

Из анализа формулы (7) вытекает, что бессмысленно добиваться такого результата, при котором . Наоборот, необходимое число измерений п можно определить из условия Dxсист, и почти всегда достаточно взять п 10. Опыт показывает, что в студенческой лаборатории число измерений физиче­ских величин обычно равно 3—4.

Замечания:

1. Бессмысленно записывать в (8) с точностью, значительно превышающей значение D х. Например, запись х = 5,6184 ± 0,7 некорректна Правильно: х = 5,6 ± 0,7.

2, Погрешность D х следует записывать до одной-двух значащих цифр. Например, запись х = 5,61 ± 0,7232 лишена смысла. Правильно: х = 5,6 ± 0,7.

При наличии случайных погрешностей появление того или иног о значения xi в процессе измерения является случайным событием. Для каждого интервала значений величины xi с уществует некоторая вероятность того, что результат очередного измерения попадёт в этот интервал. Эта вероятность зависит от ширины и расположения интервала на оси x, как показывается в теории вероятностей, определяется законом нормального распределения Гаусса* (см. рекомендуемую литературу):

(9)

где s2 — постоянная величина, называемая дисперсией распределения. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: средним значением случайной величины , которое при бесконечно большом количестве измерений (п →∞ ) совпадает с её истинным значением, и дисперсией s2.

 

Доверительным интервалом называют интервал (xi, — D xi, xi + D xi,), в который по определению попадает истинное значение х измеряемой величины с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называют вероятность α того, что истинное значение х измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал, выражается α или в долях единицы, или в процентах.

Чем больше доверительный интервал, т. е. чем больше задаваемая погрешность результата измерений Δx, тем с большей надежностью искомая величина х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа п произведенных измерений, а также от задаваемой погрешности Δx.

Так, при n ≥ 30, выбирая Δx равным s, мы получим значение α 0,68.

* В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом.

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности, как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения встречаются одинаково часто.

2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются значительно реже, чем малые, т. е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом ее величины.

В случае большого числа измерений (п → ∞) величина s, входящая в закон (9), оказывается равной среднеквадратичной погрешности отдельного измерения Δxсл:

(10)

Полученное в данной серии измерений значение величины х принимается равным . Величина D x сл характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше D x сл, тем точнее проведено измерение.

Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению и s.

Если при измерении абсолютная погрешность Δx > 3s, то это измерение следует отнести к грубым погрешностям или промаху. Величину 3s обычно принимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3s берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Смысл s как меры приближения измеренного значения величины к истинному значению х ист определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами, заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора; следовательно, даже бесконечное увеличение числа измерений не даст заметного увеличения точности.

Поскольку нет смысла стремиться к очень большому числу измерений, то возникает вопрос: как изменяется надежность при изменении числа измерений? Зависимость эта сложна и не выражается в элементарных функциях.

Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз нужно увеличить стандартный доверительный интервал [± S x ], чтобы при определенном числе измерений п получить заданную надежность α (таблица 1).'

За стандартный принимают интервал [± S x ], где

 

(11)

Порядок обработки результатов измерений следующий:

— выполняют n измерений и записывают их результаты в таблицу;

— вычисляют по (5) ;

— по формуле (11) вычисляют S x и находят по таблице коэффициент Стьюдента t (α, п) в зависимости от заданной надежности a и числа измерений п;

результат записывают в виде

(12)

Это означает, что истинное значение измеряемой величины х ист находится в интервале [ — - t(α, n) Sx; х + t(α, n) Sx;] с надежностью α.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (в %):

(13)

Обратную ей величину y = 1/ dx. называют точностью измерений.

Таблица 1Коэффициенты Стьюдента

 

Число измерений Надёжность
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,999
  1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 636,6
  0,82 1,06 1,3 1,9 2,9 4,3 7,0 31,6
  0,77 0,98 1,3 1,6 2,4 3,2 4,5 12,9
  0,74 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 8,6
  0,73 0,92 1,2 1,5 2,0 2,6 3,4 6,9
  0,72 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,1 6,0
  0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,4 3,0 5,4
  0,71 0,90 1,1 1,4 1,9 2,3 2,9 5,0
  0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8 4,8
  0,69 0,87 1,1 1,3 1,8 2,1 2,6 4,1
  0,69 0,86 1,1 1,3 1,7 2,1 2,5 3,9
  0,68 0,85 1,1 1,2 1,7 2,0 2,4 3,6
  0,68 0,85 1,0 1,3 1,7 2,0 2,4 3,5
  0,68 0,85 1,0 1,3 1,7 2,0 2,4 3,4
0,67 0,84 1,0 1,3 1,6 2,0 2,3 3,3

 

 

 

Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, часто решают и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определяют необходимое число измерений в серии.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)