АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Ортогональные преобразования

Читайте также:
  1. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  2. III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОЛОВОМ СОЗРЕВАНИИ
  3. Аграрные преобразования в деревне
  4. Алгебраические преобразования
  5. Базовые технологии преобразования информации
  6. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису
  7. Билет 29Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования переменных.
  8. Второе важное обстоятельство - преобразования Галилея меняют вид уравнений Максвелла
  9. Геометрические преобразования точек и отрезков. Однородные координаты
  10. Глава 14. Россия в конце XVII - первой четверти XVIII в. Петровские преобразования.
  11. Государственные преобразования.
  12. Двумерные преобразования координат

Определение 1. Линейное преобразование в евклидовом пространстве E называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, т.е. E ,

. (1)

Утверждение 1. Ортогональное преобразование имеет обратное преобразование и

Действительно, из (1)

Следствие. В ортонормированном базисе ортогональное преобразование имеет ортогональную матрицу: определитель матрицы ортогонального преобразования равен

Определение 2. Если , то преобразование называется собственным, если , то несобственным.

Утверждение 2. Если – подпространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования , то (ортогональное дополнение) – также инвариантное подпространство.

Доказательство:

Пусть , т.е. т.к. оно не вырождено взаимооднозначно . ■

Задача. Доказать, что произведение двух собственных и двух несобственных ортогональных преобразований есть собственное. Собственное получается непрерывным переходом из единичного, несобственное – после отражения.

Изучим ортогональные преобразования в одно– и двумерных пространствах. Изучение ортогональных преобразований в числе измерений сводится к их изучению.

Если , то – вектор, задающий одномерное пространство. – ортогональное преобразование. Пусть

в одномерном пространстве есть лишь два ортогональных преобразования: – собственное, и – несобственное.

Рассмотрим ортогональное преобразование в двумерном пространстве , – задается матрицей .

А) Собственное преобразование, т.е. Из ортогональности Пусть , т.е. всякое собственное ортогональное преобразование в двумерном пространстве имеет матрицу в ортонормированном базисе (поворот на ).

Б) несобственное преобразование, т.е. характеристическое уравнение имеет вид: имеет вещественные корни пусть – собственное значение , т.е. Из ортогональности

Пусть – ортогонален и так как ортогональные преобразования не меняют углов между векторами и их длин в базисе имеет вид

Т.к. возможны два случая:

и (зеркальное отражение относительно одной из осей). Найдем теперь простейший вид ортогонального преобразования в .

Лемма 1. У всякого линейного преобразования в вещественном пространстве одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство:

Пусть – базис в и – матрица в базис . Рассмотрим характеристическое уравнение .

  1. Если – корень вещественное решение системы этот порождает одномерное инвариантное подпространство.
  2. Пусть – решение системы выделяя вещественную и мнимую часть, получим:

Пусть , Тогда что означает, что – двумерное инвариантное подпространство. ■

Теорема. Пусть – ортонормированное преобразование в – мерном евклидовом пространстве E . В E существует ортонормированный базис , в котором имеет вид

(2)

Все элементы, кроме выписанных, равны нулю.

Доказательство: По лемме 1, в E можно выбрать либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство.

Если это одномерное подпространство, то выберем базисный вектор e: . Тогда .

Если двумерное подпространство, то пусть – ортонормированный базис, следовательно, – собственное ортогональное преобразование, имеющее матрицу

(3)

(см. лемму 1).

Совокупность векторов, ортогональных выбранным инвариантным подпространствам ( или ) есть снова инвариантное подпространство, следовательно, процедуру можно продолжить.

Таким образом, получено n попарно ортогональных векторов, в базисе этих векторов матрица линейного преобразования имеет вид (2). Одномерные клетки с отвечают одномерным инвариантным подпространствам, а клетки (3) – двумерным. ■

 


Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.328 сек.)