Примеры решения задач. Задача 1 Смесь азота и гелия при температуре 27 0С находится под давлением р=1,3×102 Па

Задача 1 Смесь азота и гелия при температуре 27 ⁰С находится под давлением р=1,3×10² Па. Масса азота составляет 70 % от общей массы смеси. Найти кон­цен­тра­цию молекул каждого из газов.

Дано:

M₂=c₂M,

где M - масса смеси; с₁ и с₂ – процентное содержание азота и гелия. С другой стороны, масса каждого из газов:

(2)

где V – объем газа; m – молярная масса газа; m_i/N_А – масса молекулы.

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим:

c₁M= ; c₂M= ;

откуда n₁/n₂= =1/3. Так как n₁+n₂=n, то

n₁= =0,8×10²² м^-3, n₂₌ =2,4×10²² м^-3.

Ответ: n₁= =0,8×10²² м^-3, n₂₌ =2,4×10²² м^-3.

Задача 2 Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул азота и гелия при температуре 27 ⁰С. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

Дано:

T = 300 К M1 = 0,1 кг mНе = 4×10-3 кг/моль mN2 = 28×10-3 кг/моль	Решение Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа <Е>= kT. <E>=6,2×10-21 Дж, причем средние энергии поступательного движения одной молекулы азота и гелия одинаковы. Средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул:
<uкв> -? E -? W -?

<u_кв>= . (1)

Для расчета средней квадратичной скорости выражение (1) удобно преобразовать, умножив числитель и знаменатель на N_A:

<u_кв>= ;

<u_кв>=13,7×10² м/с – для гелия; <u_кв>=5,17×10² м/с – для азота.

Средняя полная энергия молекулы зависит от числа степеней свободы молекулы:

<E₀>= .

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение Е₀ на число всех молекул:

Е=U=Е₀×N; N= .

Гелий – одноатомный газ Þ i=3, тогда <E₀>=6,2×10^-21 Дж.

Азот – двухатомный газ Þ i=5, тогда <E₀>=10,4×10^-21 Дж.

Полная энергия всех молекул

W= .

Для гелия W=93,5×10³ Дж; для азота W=22,3×10³ Дж.

Ответ: для гелия W=93,5×10³ Дж; для азота W=22,3×10³ Дж.

Задача 3 Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэф­фициент диффузии и вязкость при давлении р=10⁵ Па и температуре 17 ⁰С. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: 1) при постоянном давлении; 2) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота d=3,7×10^-8см.

p = 105Па T = 300К V2 = 2V1 1) p – const 2) T – const d = 3,7×10-10 м	Решение Средняя длина свободного пробега и коэффициенты переноса могут быть рассчитаны по следующим формулам: ; (1) ; (2)
l -? D -? h -?

, (3)

где n – концентрация молекул газа; <u> – средняя скорость молекулы; m₀ – масса одной молекулы.

Концентрацию молекул можно определить из уравнения p=nkT:

n=p/kT подставим в уравнение (1):

6,5×10^{-8 м.}

Средняя скорость <u>= =470 м/с,

тогда D=1×10^-5 м²/с.

Для расчета h подставим (1) в (3):

1,2×10^-5 .

Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшится вдвое. Следовательно, при любом процессе l₂/l₁=2.

В выражение для коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Тогда

.

При р=const объем прямо пропорционален температуре: Т₂/Т₁=V₂/V₁=2, тогда D₂/D₁= .

При Т=const D₂/D₁=l₂/l₁=2.

Вязкость зависит от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е.

,

при р=const ;

при Т=const .

Ответ: l=6,5×10^{-8 м;} D=1×10^-5 м²/с; h=1,2×10^-5 .

Задача 4 Пылинки массой 10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха во всем объеме одинакова: Т=300 К.}

Дано:

m1 = 10-21 кг T = 300 К	Решение При равновесном распределении пылинок их концентрация зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. По распределению Больцмана: n=n0×e-u/kT=n0×e-mgz/kT. (1)   Дифференцируя выражение (1) по z, получим
DZ -?

dn=-n_0× ×e^-mgz/kT×dz.

Так как n₀×e^-mgz/kT=n, то dn= ×n×dz. Отсюда .

Знак «-» показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак «-» опускаем и заменяем dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

.

Dn/n=0,01 по условию задачи. Подставляя значения, получим Dz=4,23 мм.

Ответ: Dz=4,23 мм.

Задача 5 Вычислить удельные теплоемкости с_v и с_p смеси неона и водорода. Массовые доли газов w₁=0,8 и w₂=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов – неон: с_v=6,24 ; c_p=1,04 ; водород: с_v=10,4 ; с_p=14,6 .

Дано:

w1 = 0,8 w2 = 0,2 cV1 = 6,24 кДж/кг × К cp1 = 1,04 кДж/кг × К cV2 = 10,4 кДж/кг × К cp2 = 14,6 кДж/кг × К	Решение Теплоту, необходимую для нагревания смеси на DТ, выразим двумя соотношениями: , (1) где сv – удельная теплоемкость смеси, M1 – масса неона, M2 – масса водорода, и , (2)
cp -? cv -?	где cv1 и сv2 – удельные теплоемкости неона и водорода соответственно.

Приравняв правые части выражений (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на DТ, найдем

,

откуда .

Отношения и выражают массовые доли неона и водорода соответственно. С учетом этих обозначений последняя формула примет вид

.

Подставляя значения, получим с_v=2,58×10³ .

Таким же образом получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

.

Подставляя значения, получим с_р=3,7310³ .

Ответ: с_v=2,58×10³ ; с_р=3,7310³ .

Задача 6 Кислород массой M=2 кг занимает объем V₁=1 м³ и находится под дав­лением p₁=2атм= 2,02×10⁵ Па. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления p₂=5атм=5,05×10⁵ Па. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу А и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

Дано:

M = 2 кг V1 = 1 м3 p1 = 2,02× 105 Па p = const V2 = 3 м3 V = const p2 = 5,05 × 105 Па	Решение Изменение внутренней энергии газа определяется по формуле . (1) Из уравнения Менделеева - Клапейрона , выразим температуру: . (2) V=const А2=0.
DU -? A -? Q -?

Подставляя в формулу (2) значения давления и объема, получим значения температуры: Т₁=389 К, Т₂=1167 К. Из уравнения (1) DU=3,28×10⁶ Дж.

Работа рассчитывается по формуле

.

при p=const А₁=0,404×10⁶ Дж.

Полная работа, совершенная газом: А=А₁+А₂=0,404×10⁶ Дж.

На основании первого начала термодинамики

получаем теплоту, переданную газу: Q=3,68×10⁶ Дж.

График процесса изображен на рисунке.

Ответ: DU=3,28×10⁶ Дж; А=0,404×10⁶ Дж; Q=3,68×10⁶ Дж.

Задача 7 Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно нагретым воздухом, взятом при начальном давлении 7×10⁵ Па и температуре 127 ⁰С. Начальный объем воз­духа 2×10^{-3 м3}. После первого изотермического расширения воздух занял объем 5 л, после адиабатического расширения объем стал равен 8 л. Найти координаты пересечения изотерм и адиабат.

Дано:

p1 = 7× 105 Па T1 = 400К V1 = 2 × 10-3 м3 T = const V2 = 5 × 10-3 м3 Q = const V3 = 8 × 10-3 м3	Решение Уравнение изотермы АВ имеет вид:
V1-? р1-? V2-? р2-? V3-? р3-? V4-? р4-?

. (1)

Для точки А: , откуда , = 0,427 моль, тогда уравнение (1) примет вид

pV = 0,427×8,31×400=1420 Дж.

Для точки В: =284×10³ Па.

Поиск по сайту: