АЛГОРИТМИЗАЦИИ

Алгебра логики, основы которой заложены Джорджем Булем, используется при построении основных узлов ЭВМ, например, таких как шифратор, сумматор и так далее.

Алгебра логики оперирует с высказываниями, то есть повествовательными предложениями, о которых можно сказать истинно оно или ложно. Высказывания обозначают большими латинскими буквами и пишут A= 1(t,true, правда), B= 0 (f, false, ложь).

Над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания. Их истинность зависит от истинности исходных выражений и вида логической операции. Наиболее часто используются логические операции, выражаемые словами «и», «или», «не».

Определение. Соединение двух (или несколько) высказываний в одно спомощью союза И (AND) называется конъюнкцией (илиоперацией логического умножения). Обозначаются Л, &, х. Значения логических операций определяются по правилам,задаваемым в таблице истинности. Истинность конъюнкции задается следующей таблицей:

Определение. Соединение двух (или несколько) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ (OR) называется дизъюнкцией (или логического сложения). Обозначаются I, V, +. Таблица истинности:

Определение. Присоединение частицы НЕ (NOT) к данному высказываниюназывается операцией отрицания (инверсии). Ā, А – «не А». Таблица истинности:

Операция эквивалентности обозначается А ~ В (А ≡ В, А eqv В) и задается следующей таблицей истинности:

Определение. Операция импликации (логического следования) объединяет высказывания словами «если…, то …».

Пример. Пусть имеется два высказывания: «данный четырёхугольник – квадрат» (А) и «около данного четырёхугольника можно описать окружность» (В).

Рассмотрим составное высказывание А→ В. Есть три варианта, когда высказывание А→ В истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

Определение. Высказывания, образованные с помощью логических операций называются сложными. Истинность их устанавливают, используя таблицы истинности соответствующих операций.

Определение. Высказывания, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения используют знак = (А=В).

Пример. Рассмотрим сложное высказывание (А& В) V (А& В) и составим таблицу истинности.

если сравнить с таблицей истинности, для эквивалентности, то видно:

(А& В) V (А&В) = А ~ В

Следовательно, можно в алгебре логики проводить тождественные преобразования, заменяя высказывания равносильными, а это упрощение выражения.

Следствием самих определений логической операции является ряд свойств:

1. коммутативность (перестановочность)

А& В = В& А

А V В = В V А

2. идемпотентность

А& А= А, А V А= А

3. ассоциативность

АV (ВV С)= (АV В) V С= А V В V С

А & (В& С)= (А& В) & С= А& В & С

4. дистрибутивность

А & (В V С)= (А& В) V (А& С)

А V (В& С)= (А V В) & (А V С)

5. законы де Моргана

(А&В)= А V В

(А V В)= А & В

6. закон универсального множества

Х V 1= 1

Х & 1= Х

7. закон нулевого множества

Х V О = Х

Х& О = О

Любую цифровую систему можно описать при помощи набора булевых функций. Средством обработки двоичных сигналов в ЭВМ являются логические элементы. На практике ИСТИНА =1 - это наличие напряжения, ЛОЖЬ= 0 - отсутствие.

Определение. Логические элементы - это электронные микросхемы с одним или несколькими входами и одним выходом, через которые проходят электрические сигналы, представляющие 0,1.

Для реализации любой логической операции над двоичными сигналами достаточно элементов трех типов: И, ИЛИ, НЕ. Существуют микросхемы, реализующие более сложные логические функции: И-НЕ, называемая операцией Шеффера, и ИЛИ-НЕ, называемая Стрелка Пирса. Из логических элементов путем их комбинации стоятся основные схемы компьютера. Любую достаточно сложную логическую функцию можно реализовать, имея относительно простой набор базовых логических операций.

Первоначально были разработаны и выпускались микросхемы, соответствующие основным логическим действиям. Довольно быстро стало ясно, что это не может удовлетворить практическим потребностям. Появились более сложные типовые узлы (триггеры, регистры, сумматоры и т.п.), дающие возможность реализовывать еще более сложные логические устройства.

Определение. Триггер - электронный прибор, имеющий два устойчивых состояния, является типичным запоминающим элементом, способным хранить 1 бит информации.

Определение. Регистр - совокупность триггеров, предназначенных для хранения числа в двоичном коде.

Определение. Сумматор -устройство, обеспечивающее суммирование двоичных чисел с учетом переноса из предыдущего разряда.

Поиск по сайту: