АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ЧАСТЬ 1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Читайте также:
  1. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  2. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  3. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  4. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  5. I. Розв’язати задачі
  6. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  7. II Съезд Советов, его основные решения. Первые шаги новой государственной власти в России (октябрь 1917 - первая половина 1918 гг.)
  8. II. Основная часть.
  9. II. Основные задачи и функции
  10. II. Расчетная часть задания
  11. II. Решение логических задач табличным способом
  12. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРИНЦИПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВОИ

Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10, где А = 2 рад/с11. Найти закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол j(t =0) = j0 = 0.

Решение.

Перевод в СИ

m = 30 кг 30 кг

D = 60 см 0,6 м

w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с

t = 2 c 2 c

Определить: j(t), e (t), М(t), L(t).

Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от j(t) по времени:

dj

w(t) = ¾¾ (1)

dt

Закон движения j(t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:

 

j(t) = w(t) d t + j0 (2)

 

При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:

j(t) = 2×t10 d t + j0 = (3)

В момент времени t = 2 с маховик повернулся на угол j(t =2 с) = = 372,3» 372 рад.

Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:

 

dw d

e = ¾¾ = ¾¾ (2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)

dt dt

В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:

e (t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240» 1,02× 104 рад/с2

Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:

М = I × e (5)

где I - момент инерции тела.

В нашем случае момент инерции колеса равен:

I = mR2 = mD2/4 (6)

 

Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:

mD2 20 t9

М = ¾¾ ×¾¾

При t = 2 c

30 × (0,6)2 20×29

M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648» 2,77 × 104 Н×м

Момент количества движения равен:

L = I w (7)

Подставляя выражения для w и (6) в (7) получим:

mD2 2 t10

L = ¾¾ ¾¾

При t = 2 c

30× (0,6)2 × 2× 210

L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2

Проверим размерность полученных выражений.

рад с11

[j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;

с11

 

рад с9

[e] = [А] [t9] = ¾¾¾¾ = рад/с2

с11

 

mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м

[M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м

4 11 с11 с2

кг м2 c10

[L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1

c11

Ответ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м

L(t) = 5,53× 103 кг м2

 

 

Пример 2. Соковыжималка раскручивается до 7200 об/мин. Определить силу, действующую на кусочек яблока массой 5г, при диаметре камеры D = 24 см. Вычислить линейную скорость кусочка яблока. Оценить мощность соковыжималки, если максимальные обороты достигаются за 8с. Барабан представляет собой полуцилиндр, масса дна и кольца примерно одинакова и равна 100 г. Яблочная масса при загрузке составляет 300 г.

Решение. СИ

n = 7200 об/мин = 120 с-1

R = D/2 = 12 см = 0,12 м

m = 5 г = 5 ·10-3 кг

m1 = 100 г = 0,1 кг

m2 = 300 г = 0,3 кг

t = 8с

Определить: силу F, скорость V, мощность Р

Кусок яблока движется по круговой траектории с центростремительным ускорением

а = V2/ R. (1)

Сила, действующую на кусочек яблока со стороны барабана, равна

F= mV2/ R.

С силой F кусок яблока прижимается к барабану. Поэтому искомая сила равна

F= mV2/ R = F= mw2 R, (2)

где V = w R –линейная скорость кусочка яблока;

w = 2π n - угловая скорость

Проверим размерность подставляя:

кг· с-2 · м

[F] = [¾¾¾¾¾] = кг· м·с-2 = Н

Проведем вычисления:

Сила F = mw2 R= 5 ·10-3 ·(2 ·3,14)2 ·(120)2×0,12=5·10-3 ·4·9,86·1,44·104 ×0,12=2,84·103 Н

Линейная скорость кусочка яблока:

V = w R = 2π n R =2·3,14 ·120 · 0,12 =30.432 ≈ 30.4 м/с

Мощность соковыжималки можно оценить, вычислив кинетическую энергию вращающегося барабана вместе с содержимым и разделив её на время раскручивания.

Кинетическая энергия вращения равна:

Екин = (I + I1) w2 /2

где I = m2 R 2 – момент инерции яблочной массы;

I1 = m1 R 2 / 2 + m1 R 2 момент инерции полуцилиндра, состоящего из диска и кольца.

I = 0,3· (0,25)2 = 0.0185 =1.875·10-2 кг·м2 ≈ 1.88·10-2 кг·м2

I1 =(0.05 +0.1) · (0,25)2 = 0.93675·10-2 кг·м2≈ 0.937·10-2 кг·м2

Екин= (1.88 + 0.937) ·10-2 ·(2π 120)2 / 2 = 2.82 ·10-2 · 2· (3,14)2 1.44· 104 ≈ 8.01·103 Дж.

Мощность соковыжималки:

Р = Екин / t =8.01·103 / 8 ≈ 103 Вт

Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.

Ответ: сила, прижимающая кусочек яблока к барабану F = 2,84·103 Н,

линейная скорость кусочка яблока:V ≈ 30.4 м/с; мощность соковыжималки Р ≈ 103 Вт.

 

Пример 3. Автомобиль тянет платформу с грузом, представляющим собой прямоугольную форму весом 250 кг. Коэффициент трения между платформой и грузом 0,05, вес платформы 820 кг. Сила с которой тянет автомобиль платформу изменяется по закону F=Аt, где А=4,25[кг×м/с3] – некоторая постоянная. Определить: 1) момент времени t0, когда платформа начнет выскальзывать из-под груза; 2) ускорения груза а1 и платформы а2 в процессе движения.

Решение.

m1=250 кг Описанный процесс схематично изображен на рис.1.

m2=820 кг Сила, с которой машина тянет платформу, можно выразить

f=0,05 формулой F=Fтр+m2a2 (1), где Fтр= m1a1 (2). Максимальное F=4,25t значение силы трения равно Fтр.max= f m1 g (3),

______________

Найти

t0=? где g=9,81 м/с2 - есть ускорение свободного падения.

а1=? Используя выражения (1), (2) и (3), определим ускорение а2 и,

а2=? подставим его в очевидное неравенство, а2 ³ а1, показывающее

 

Рис. 1.

предельное значение ускорения, при котором груз уже скользит по платформе.

 

а2 = ; а1=fg; тогда .

Во время t=t0 , из чего выразим t0= .

 

Во время t£t0 а12=

Во время t£t0 а1=fg=const, а2= .

Так как исходные данные приведены в системе единиц СИ, то подставим в полученные выражения числовые значения и рассчитаем требуемые неизвестные.

t0=

 

а1=9,81×0,05=0,49 м/с2.

 

а2= .

Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.

 

Ответ: 1) время, после начала движения при котором платформа начнет выскальзывать из под груза больше t0= 123,49 с; 2) ускорение груза достигнет а1= 0,49 м/с2; 3) платформа должна двигаться с ускорением больше, чем а2= 0,49 м/с2.

 

Пример 4. С башни, высотой 20 м, горизонтально со скоростью 10 м/с из пращи брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить для момента времени 1с после начала движения кинетическую и потенциальную энергии.

Решение.

H= 20 м Запишем формулы для расчета кинетической и потенциа-

u0= 10 м/с льной энергий:

m= 400 г = 0,4 кг Т = ; П = m×g×h.

t= 1 с

______________

Найти: В формулах не все данные известны. Необходимо найти

Т =?; П =?. общую скорость движения камня через 1 с и высоту на

которой камень будет находиться через это время. Скорость движения при снижении камня по вертикали определяется выражением uy = g×t, а полная скорость движения u2 = u02 + uy2, где u0 = const – постоянная скорость движения камня по горизонтали, uy – скорость равнопеременного движения камня по вертикали. Подставив полученные формулы в выражение для кинетической энергии, окончательно получим:

Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2.

За время t камень опустится на высоту h1 = , тогда потенциальная энергия камня будет равна

П = m×g×(H - ).

Проведем вычисления: Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2 = 0,4×(102 + 9,812×12) / 2 = 39,2 Дж;

П = m×g×(H - ) = 0,4×9,81× (20 – 9,81×12/2) = 59,2 Дж.

Ответ: 1) кинетическая энергия камня через секунду после начала движения равна Т = 39,2 Дж; 2) потенциальная энергия равна П = 59,2 Дж.

Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.

 

Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой 20 г, при температуре 250С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического процесса расширения и работу, совершенную газом. Изобразить процесс графически.

Решение. СИ

М = 20г 0.02 кг

T1 = 250C Т1 = 298 К

V/ V = 5

V/ V = 1/5

R = 8,31 Дж/моль∙град

µ=2 ∙10-3 кг/моль

i = 5

γ = 1,4

________________________________

Определить: Т2=?; А1=?; А2=?.

 

Отношение температур и объемов газа, совершающего адиабатический процесс, описываются равенством:

,

где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:

.

Подставляя численные значения, получаем:

Т2 = 298∙(1/5)1,4-1 = 298∙0.525 = 156,5 К.

Работа газа при адиабатическом расширении определим по формуле:

Подставляя цифровые значения в полученное выражение, получаем:

.

Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена формулой:

.

Подставляя известные числовые значения, величин входящих в формулу, и выполняя арифметические операции, находим работу при изотермическом процессе:

.

Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами.

График описанного процесса представлен на рис.1.

 

Рис. 1.

Ответ: Температура в конце адиабатического процесса расширения Т2 = 156,5 К.

Работа, совершенная газом для точек 2,3 равна А1=8,62∙104Дж, А2=-2,08∙104Дж.

 

Пример 6. Определить плотность смеси газов (60 % пропана - С3Н8,30%, бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся в баллоне при температуре 27 0С и давлении 0.11МПа.

Решение. СИ

m13Н8) = (3×12 +8×1) × 10-3 = 44×10-3кг/моль

m1/m= 0.6 - “ -

m24H10) = (4×12 + 10×1) ×10-3=56×10-3 кг/моль

m2/m =0.3 - “ -

m3 (СН4) = (12 + 4×1) ×10-3 = 16×10-3 кг/моль

m3/m = 0.1 - “ -

t = 270C Т = 300 К

P = 0.11 MПа 0.11× 106 Па

____________________________________

Определить: r =?

По закону Дальтона давление смеси газов P равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь P1(C3 H8), P2(C4 H10),P3 (CH4):

P = P1 + P2 + P3 (1)

Для каждого газа справедливо уравнение состояния (Клапейрона -Менделеева):

Pi V = (mi /mi)RT (2)

Из выражения (2) можно выразить парциальное давление:

Pi = (mi /mi)RT/V (3)

Уравнение Клапейрона - Менделеева справедливо и для смеси газов:

P V = (m /m)RT (4)

Плотность газа равна:

r = m/V = Pm/ RT (5)

Молярную массу смеси можно найти подставив (3) в (1):

P = (m1/m1)RT/V + (m2 /m2)RT/V + (m3 /m3)RT/V = (m/m) RT/V (6)

Из уравнения (6) молярная масса m равна:

m = (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)-1 (7)

Подставляя (7) в (5) получим выражение для плотности смеси:

r = P/ RT (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)

Проверим размерность получившейся формулы:

[r]=[P] /[R][T] [m-1]=Па/ (Дж моль-1К-1) К (кг/моль)-1=Па/Дж кг-1=Нм-2 кг/Нм= кг/м3

r = 0.11×106 /8.31 300 (0.6/44×10-3 + 0.3/ 56×10-3 + 0.11/6×10-3) = (0.11× 39.6 /8.31×3×) × 106-2-3 = 0.175×10 =1.75 кг/м3

Ответ: плотность смеси газов r = 1.75 кг/м3.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.033 сек.)