Линейный треугольный элемент

Линейный треугольный элемент представляет собой треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами по одному в каждой вершине (см. рис. 3). Выведем вид базисных функций треугольного линейного элемента. При работе с узлами требуется определенная нумерация или направление обхода узлов элемента. Будем использовать направление против часовой стрелки. Узловые значения в элементе обозначим . Координаты узлов соответственно равны (), (), (). Площадь треугольника равна А. Будем интерполировать неизвестную функцию u (х, у) на элементе линейной функцией, то есть

(5)

Интерполяция проводится так, чтобы значения точного решения и приближенного совпадали в узлах сетки, то есть

Эта система уравнений всегда имеет единственное решение, так как определитель системы равен двум площадям треугольника, то есть не равен нулю. Разрешив ее относительно и подставив в (5), получим

Функции при коэффициентах , , и определяют линейные функции формы данного элемента. С их помощью соотношение, определяющее элемент, записывается в виде

(6)

Функция равна единице в узле () и нулю в двух других узлах.

Рисунок 3 – Треугольный элемент и L-координаты

Если неизвестная функция аппроксимируется базисными функциями, линейными по и , то градиенты в направлениях и будут постоянны. Например,

Естественная система координат (ЕСК). При вычислении элементных матриц жесткости или векторов правых частей приходится интегрировать функции формы или их частные производные по площади элемента. Интегрирование можно упростить, если записать интерполяционные соотношения в системе координат, связанной с элементом, то есть в локальной системе координат (ЛСК). Эту локальную систему координат называют естественной, если в узле элемента локальная координата принимает значения 0, .

В двумерном случае интеграл от функции, заданной в глобальной си-стеме координат, может быть вычислен в ЛСК с помощью соотношения

где и соответственно старая и новая области интегрирования, – абсолютное значение определителя матрицы Якоби преобразования системы координат. Функция в левой части равенства представляет собой функцию, выраженную в глобальной системе координат, тогда как соответствует функции, представленной в локальной системе координат (х, у – глобальные (старые) координаты, – локальные (новые) координаты). Матрица Якоби имеет вид

Для треугольного элемента наиболее распространенной является бариоцентрическая система координат или L-координаты. Каждая координата представляет собой отношение расстояния от выбранной точки треугольника до одной из его сторон s к высоте h, опущенной на эту сторону из противолежащей вершины (рис. 3). Величины изменяются в пределах от нуля до единицы.

L-координаты треугольника удовлетворяют соотношению

Уравнения этого типа следовало ожидать, потому что три координаты в двумерном случае не могут быть независимыми. Местоположение произвольной точки может быть полностью описано с помощью только двух координат. L-координаты обладают следующими свойствами. Координатные переменные представляют собой функции формы для треугольного элемента: ( в узле с номером i и равна 0 в узлах j и k). Координаты произвольной точки С в декартовой системе выражаются через L-координаты следующим образом.

Преимуществом использования L-координат является существование интегральных формул, которые упрощают вычисление интегралов вдоль сторон элемента и по его площади:

Рисунок 4 – Степени свободы векторных величин в узлах элементов

где S – площадь элемента. Использование этих соотношения может быть проиллюстрировано при вычислении интеграла вида

Поиск по сайту: