Тема «Исследование функции»

Исследование функции необходимо начинать с нахождения ее области определения, но, к сожалению, это трудно автоматизируемая операция. Поэтому при рассмотрении этого вопроса приходится решать неравенства. Однако, ответить на вопрос, определена ли функция на всей числовой оси, или нет, можно исследовав ее на непрерывность.

Непрерывность функции и точки разрыва.

Проверить непрерывность функции f(x) на заданном промежутке [x1,x2] можно с помощью команды iscont(f,x=x1..x2). Если функция f непрерывна на этом интервале, то в поле вывода появится ответ true – (истина); если функция f не является непрерывной на этом интервале, то в поле вывода появится ответ false – (ложь). В частности, если задать интервал x=-infinity..+infinity, то функция f будет проверяться на всей числовой оси. В этом случае, если будет получен ответ true, то можно сказать, что функция определена и

непрерывна на всей числовой оси. В противном случае следует искать точки разрыва. Это можно сделать двумя способами:

1) с помощью команды discont (f,x), где f – функция исследуемая на непрерывность, x – переменная. Эта команда пригодна для нахождения точки разрыва первого и второго родов.

2) с помощью команды singular (f,x), где f – функция, x – переменная. Эта команда годится для нахождения точек разрыва второго рода как для вещественных значений переменной, так и для комплексных.

Перед использованием этих команд их следует обязательно загрузить из стандартной библиотеки readlib(name), где name – имя любой из указанных выше команд. Обе эти команды выдают результаты в виде перечисления точек разрыва в фигурных скобках. Тип такой записи называется set. Для того, чтобы в дальнейшем можно было использовать полученные значения точек разрыва, следует из типа set с помощью команды convert перевести их в обычный числовой тип.

Пример:

> readlib(iscont): readlib(discont):

> iscont(exp(1/(x+3)),x=-infinity..+infinity);

false

Это означает, что функция не является непрерывной. Поэтому следует найти точки разрыва с помощью команды:

> discont(exp(1/(x+3)),x);

{-3}

“Точка разрыва x =−3.”

Экстремумы. Наибольшее и наименьшее значение функции.

В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema( f,{cond},x,’s’ ), где f- функция, экстремумы которой ищутся, в фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х– имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах ’s’– указывается имя переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума.

Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси. Результат действия этой команды относится к типу set.

Пример:

> readlib(extrema):

> extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);x0;

{{ x =1}}

В первой строке вывода приводится экстремум функции, а во второй строке вывода – точка этого экстремума. К сожалению, эта команда не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая – минимум. Для нахождения максимума функции f (x) по переменной х на интервале x [ x 1, x 2] используется команда maximize( f,x,x=x1..x2 ), а для нахождения минимума функции f (x) по переменной х на интервале используется команда minimize( f, x, x=x1..x2 ). Если после переменной указать ’ infinity ’ или интервал x=-infinity..+infinity, то команды maximize и minimize будут искать, соответственно, максимумы и минимумы на всей числовой оси как во множестве вещественных чисел, так и комплексных. Если такие параметры не указывать, то поиск максимумов и минимумов будет производиться только во множестве вещественных чисел.

Недостаток этих команд в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно. Поэтому для того, чтобы полностью решить задачу об исследовании функции y=f (x) на экстремумы с указанием их характера (max или min) и координат (x, y) следует сначала выполнить команду:

extrema (f,{},x,’s’);s; а затем выполнить команды maximize( f,x ); minimize( f,x ).

После этого будут полностью найдены координаты всех экстремумов и определены их характеры (max или min).

Команды maximize и minimize быстро находят абсолютные экстремумы, но не всегда пригодны для нахождения локальных экстремумов. Команда extrema вычисляет так же критические точки, в которых функция не имеет экстремума. В этом случае экстремальных значений функции в первой строке вывода будет меньше, чем вычисленных критических точек во второй строке вывода. Выяснить характер найденного экстремума функции f (x) в точке x = x 0 можно, если вычислить вторую производную в этой точке и

по ее знаку сделать вывод: если f ′′(x 0) > 0, то в точке x 0 будет min, а если f ′′(x 0) < 0 − то max.

В последней версии пакета аналитических вычислений Maple описанный выше недостаток команд maximize и minimize устранен. Координаты точек максимума или минимума можно получить, если в параметрах этих команд после переменной записать через запятую новую опцию location. В результате в строке вывода после самого максимума (минимума) функции будут в фигурных

скобках указаны координаты точек максимума (минимума).

Например:

> minimize(x^4-x^2, x, location);

В строке вывода получились координаты минимумов и значения

функции в этих точках.

Команды extrema, maximize и minimize обязательнодолжны быть загружены из стандартной библиотеки.

Исследование функции по общей схеме.

1. Область определения функции f (x) – полностью может быть указана после исследования функции на непрерывность.

2. Непрерывность и точки разрыва функции f (x) исследуются по схеме:

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

> d1:=discont(f,x);

> d2:=singular(f,x);

В результате наборам переменным d1и d2 будут присвоены значения x -координат в точках разрыва 1 и 2-го родов (если они будут найдены).

3. Асимптоты. Точки бесконечных разрывов определяют вертикальные асимптоты графика f (x). Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид:

> yr:=d2;

Поведение функции f (x) на бесконечности характеризуется наклонными асимптотами (если они есть). Уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где коэффициенты вычисляются по формулам:

При x → +∞. Поэтому нахождение наклонных асимптот можно провести по следующей схеме:

> k1:=limit(f(x)/x, x=+infinity);

> b1:=limit(f(x)-k1*x, x=+infinity);

> k2:=limit(f(x)/x, x=-infinity);

> b2:=limit(f(x)-k2*x, x=-infinity);

Часто оказывается, что k1=k2 и b1=b2, в этом случае будет одна асимптота при x → +∞ и при x → −∞. С учетом этого составляется уравнение асимптоты

> yn:=k1*x+b1;

4. Экстремумы. Исследование функции f (x) на экстремумы можно проводить по схеме:

> extrema(f(x), {}, x, ’s’);

> s;

> fmax:=maximize(f(x), x);

> fmin:=minimize(f(x), x);

После выполнения этих команд будут найдены координаты (x, y)

всех максимумов и минимумов функции f (x).

Построение графика.

Построение графика функции f (x) – это окончательный этап исследования функции. На рисунке помимо графика исследуемой функции f (x) должны быть нанесены все ее асимптоты пунктирными линиями, подписаны координаты точек max и min.

Пример:

Провести полное исследование функции по общей схеме. Сначала перейдите в текстовый режим и наберите “Исследование функции: “. Затем вернитесь в режим командной строки и наберите команды:

> f:=x^4/(1+x)^3:

В текстовом режиме наберите “Непрерывность функции”. В режиме командной строки и наберите:

> readlib(iscont): readlib(discont): readlib(singular):

> iscont(f, x=-infinity..infinity);

false

Это означает, что функция не является непрерывной. Перейдите в текстовый режим и наберите “Нахождение точек разрыва”. Вернитесь в режим командной строки и наберите:

> discont(f,x);

{-1}

Конвертировать полученное значение точки разрыва типа set в число можно командой convert, добавив вторую опцию, например `+`. Обратите внимание на обратные кавычки, которые набираются клавишей, расположенной выше клавиши табуляции.

> xr:=convert(%,`+`);

xr:= −1

Перейдите в текстовый режим и наберите: “Получена точка бесконечного разрыва x =−1”. С новой строки наберите: “Нахождение асимптот.”. Перейдите на новую строку и наберите “Уравнение вертикальной асимптоты: x =−1” (это можно сделать, поскольку вертикальные асимптоты возникают в точках бесконечного разрыва). С новой строки наберите: “Коэффициенты наклонной асимптоты:”. Перейдите в режим командной строки и наберите:

> k1:=limit(f/x, x=+infinity);

k1:=1

> b1:=limit(f-k1*x, x=+infinity);

b1:= −3

> k2:=limit(f/x, x=-infinity);

k2:=1

> b2:=limit(f-k2*x, x=-infinity);

b2:= −3

В этом случае коэффициенты наклонных асимптот при x → +∞ и x → −∞ оказались одинаковыми. Поэтому перейдите в текстовый режим и наберите “Уравнение наклонной асимптоты:”. Затем в новой строке прейдите в режим командной строки и наберите:

> y=k1*x+b1;

y = x − 3

В текстовом режиме наберите “Нахождение экстремумов”. В новой строке наберите команды:

> readlib(extrema): readlib(maximize):readlib(minimize):

> extrema(f,{},x,'s');s;

Поскольку функция имеет разрыв, то при поиске максимума и минимума следует указать интервал, в который не должна входить точка разрыва.

> fmax:=maximize(f,{x},{x=-infinity..-2});

> fmin:=minimize(f,{x},{x=-1/2..infinity});

fmin:= 0

В текстовом режиме наберите результат исследования в виде: “Максимум в точке (−4, −256/27); минимум в точке (0, 0).”

Индивидуальные задания:

Провести полное исследование функции по общей схеме. Построить график функции и ее асимптоты, указать координаты точек экстремума.

Поиск по сайту: