Спектральный анализ матрицы

Собственные числа и собственные векторы матрицы.

Из курса линейной алгебры известно, что если Ах=λх, то вектор х называется собственным вектором матрицы А, а число λ – собственным числом, соответствующим данному собственному вектору. Совокупность всех собственных чисел матрицы называется спектром матрицы. Если в спектре матрицы одно и тоже собственное число встречается k раз, то говорят, что кратность этого собственного числа равна k.

Для нахождения собственных чисел матрицы А используется команда eigenvalues (A). Для нахождения собственных векторов матрицы А используется команда eigenvectors (A). В результате выполнения этой команды будут получены собственные числа, их кратность и соответствующие собственные векторы.

Чтобы понять, в каком виде получаются результаты выполнения команды eigenvectors, внимательно разберитесь со следующим примером:

Пример:

A имеет 3 собственных вектора:

a1 = (−1,0,1), отвечающий собственному числу λ1 = 2 кратности 1,

a2 = (1,1,1), отвечающий собственному числу λ2 = 3 кратности 1,

a3 = (1,−2,1), отвечающий собственному числу λ3 = 6 кратности 1.

Найдем их в Maple:

> A:=matrix([[3,-1,1],[-1,5,-1],[1,-1,3]]):

> eigenvectors(A);

[2,1,{[-1,0,1]}], [3,1,{[1,1,1]}], [6,1,{[1,-2,1]}]

В строке вывода перечислены в квадратных скобках собственное число, его кратность и соответствующий собственный вектор в фигурных скобках, затем следующие наборы таких же данных.

Характеристический и минимальный многочлены матрицы.

Для вычисления характеристического многочлена P_А (λ) = det(λE − A) матрицы A используется команда charpoly (A,lambda).

Минимальный многочлен (делитель) матрицы А можно найти с помощью команды minpoly (A,lambda).

Канонические и специальные виды матрицы.

Привести матрицу А к нормальной форме Жордана можно командой jordan (A).

К треугольному виду матрицу А можно привести тремя способами:

1) команда gausselim (A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса;

2) команда ffgausselim (A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса без деления. Эта команда предпочтительней для работы с символьными матрицами, так как не производит нормировку элементов и исключает возможные ошибки, связанные с делением на нуль;

3) команда gaussjord (A) приводит матрицу А к треугольному виду методом Гаусса-Жордана.

Характеристическую матрицу F(A) = λE − A можно вычислить командой charmat (A,lambda).

Поиск по сайту: