Классическая и квантовая физика

Наступило время перейти к введению понятия квантов в физику. Однако прежде чем излагать историю появления квантов, необходимо в нескольких словах остановиться на глубоком различии между классическими, доквантовыми теориями и квантовой теорией. Общим для всех классических теорий является предположение о возможности описывать состояния физического мира, задавая точное положение отдельных его частей в трехмерном пространстве. Это положение непрерывно изменяется со временем. При этом само движение определяется характером изменения положения со временем.

Разумеется, между прежними попытками и представлениями релятивистской теории есть существенное различие. В дорелятивистской физике пространство представляет собой некоторую фиксированную область, в которой протекают все физические явления, рассматриваемые любыми мыслимыми наблюдателями в одно и то же время, абсолютное и универсальное, которое задает свой ритм всем этим наблюдателям. В теории относительности, напротив, ни пространство, ни время не имеют абсолютного характера. Абсолютен лишь четырехмерный континуум, образованный объединением пространства и времени и называемый четырехмерным миром. Каждый наблюдатель из этого четырехмерного мира разными способами выделяет свое пространство и свое время. Однако, несмотря на это существенное различие во взглядах на пространство и время, как релятивистская, так и дорелятивистская физика в равной мере исходят из предположения о том, что все физические явления независимо от их характера и природы могут быть вполне определенно и однозначно описаны в рамках трехмерного пространства и времени. Так, например, движение какой‑либо частицы определяется заданием последовательности вполне определенных положений ее в различные моменты времени совершенно независимо от физической природы этой частицы, скажем, от величины ее массы. Более того, так же как и в старой классической физике, в релятивистской теории вся эволюция физических явлений определяется неумолимой игрой дифференциальных уравнений, которые однозначно предсказывают все будущее. При описании четырехмерного пространства теория относительности предполагает заданной всю совокупность событий, соответствующих любому моменту времени. И релятивистская теория лишь несовершенством человека объясняет тот факт, что наблюдатель может раскрывать события в четырехмерном мире только последовательно шаг за шагом по мере течения его собственного времени. Утверждая, что каждый наблюдатель может однозначно локализовать события в пространстве и во времени, придавая пространственный характер длительности и рассматривая любые реальные предсказания, диктуемые самим характером пространства‑времени, теория относительности сохраняет в силе вплоть до самых детальных следствий генеральные идеи прежней физики. Поэтому можно сказать, что, несмотря на такой новый, почти революционный характер эйнштейновских концепций, теория относительности в определенном смысле явилась венцом именно классической физики.

Современная квантовая физика смотрит на вещи совершенно иначе. Во введении к этой книжке мы уже указали на некоторые из главных особенностей квантовой теории. Само существование кванта действия, как мы говорили, выражает своего рода взаимную связь между локализацией некоторого объекта во времени и в пространстве и его динамическим состоянием. С точки зрения классической физики эта связь представляется совершенно необъяснимой и гораздо более непонятной по следствиям, к которым она приводит, чем связь между пространственными переменными и временем, установленная теорией относительности.

Из существования этой взаимосвязи вытекает невозможность одновременного определения координаты и скорости, выражаемая на математическом языке соотношением неопределенности Гейзенберга. Это соотношение указывает на то, что нельзя и каком‑либо эксперименте одновременно проводить измерения пространственно‑временных координат и параметров, определяющих динамическое состояние системы.

Анализ этого сложного вопроса показывает, что с точки зрения квантовой физики пространственно‑временное описание событий, принятое в классической (и даже в релятивистской) физике, должно рассматриваться лишь как приближение, справедливое только для сравнительно тяжелых тел. А под тяжелыми телами мы понимаем тела, состоящие из чрезвычайно большого числа элементарных частиц и, следовательно, обладающие полной массой, во много раз превышающей массу любой из элементарных частиц. К таким телам относятся, в частности, все используемые нами обычно в экспериментах тела. Этим и объясняется то, что при изучении крупномасштабных явлений классическая физика прекрасно могла обходиться этим пространственно‑временным описанием.

Система координат, связанная с каким‑либо материальным телом, и часы, синхронизованные соответствующим образом, позволяют, следуя методам классической физики, удовлетворительно описывать все макроскопические явления. Но при попытке использовать таким образом определенные пространственно‑временные координаты для описания процессов, происходящих в микромире, мы сталкиваемся с соотношениями неопределенности Гейзенберга. Из этих соотношений вытекает, что понятия пространства и времени, используемые в классической физике и вполне применимые для описания макроскопических явлений, становятся неприменимыми при описании явлений атомного масштаба.

Однако мы, физики, все же упорно пытаемся описывать мир элементарных частиц с помощью прежних понятий пространства и времени, привитых нам повседневным опытом. Отсюда и трудности, возникающие при изучении квантовой теории, поэтому нам и кажется столь странным само понятие кванта действия. Быть может и окажется возможным ввести для мира атома понятия пространства и времени каким‑либо более общим способом, чем это делается в классической физике. Однако эти новые понятия должны как‑то отражать существование кванта действия и более тесную, чем в классической физике, связь между чисто геометрическими и динамическими понятиями. Кроме того, в случае систем, состоящих из очень большого числа элементарных частиц, т.е., иначе говоря, при описании макроскопических явлений, они должны позволить перейти к обычным понятиям пространства и времени. Интересные работы в этом направлении уже сделаны Детушем. Во всяком случае, не следует забывать о такой возможности.

Абсолютный детерминизм классической физики в значительной мере покоится на понятиях пространства и времени. Приведя к глубоким изменениям во взглядах на пространство и время, теория относительности тем не менее сохранила принцип классического детерминизма. Совершенно иначе обстоит дело в квантовой механике. Отвергая точное пространственно‑временное описание явлений, во всяком случае явлений масштаба атома, она отвергает также и принцип классического детерминизма в его старом смысле.

Невозможность одновременного определения точного положения микроскопической системы и ее динамического состояния, вытекающая из существования кванта действия, приводит к тому, что никакие последовательно проводимые измерения систем атомного мира не дают возможности определить все детали процесса, позволяющие согласовать результаты этих измерений с принципом классического детерминизма.

Действительно, современная квантовая теория дает возможность определить только вероятностные законы, позволяющие по результатам первого измерения указать вероятность того, что при последующем измерении будет получен тот или иной результат. Эта замена точных законов вероятностными при описании микромира связана, конечно, с тем, что в этой области нельзя применить обычные представления о пространстве и времени. Для объектов же макромира эти представления оказываются, если так можно выразиться, асимптотически справедливыми. Вероятностный характер законов квантовой теории при этом исчезает и принимает вид достоверных однозначных законов, и принцип классического детерминизма вновь вступает в силу.

Из всего этого следует, что в теоретической физике произошел существенный переворот в тот момент, когда стала очевидна необходимость учитывать квант действия. А как все это происходило?

Теория излучения черного тела. Квант действия Планка

Начало развитию квантовой теории положили относящиеся к 1900 г. работы Макса Планка по теории излучения черного тела. Попытка построить теорию излучения черного тела на основе законов классической физики привела к серьезным трудностям. Объясним, прежде всего, в чем заключались эти трудности.

Рассмотрим замкнутую полость, поддерживаемую при постоянной температуре и содержащую какие‑либо материальные тела, способные испускать и поглощать излучение. Если эти материальные тела имели в начальный момент какую‑либо температуру, отличную от температуры полости, то с течением времени в результате процессов испускания и поглощения температура их будет стремиться к температуре полости, т.е. система будет стремиться к состоянию термодинамического равновесия, характеризуемому равновесием между поглощаемой и излучаемой в единицу времени энергией.

На основе лишь самых общих термодинамических законов Кирхгоф показал, что это состояние равновесия единственно и характеризуется определенным спектральным распределением плотности энергии излучения, заключенного в этой полости. Более того, он показал, что функция, определяющая это спектральное распределение, носит универсальный характер, т.е. совершенно не зависит ни от размеров или формы рассматриваемой полости, ни от свойств заключенных в ней материальных тел, и полностью определяется температурой полости и, разумеется, частотой. Такое равновесное излучение, характеризуемое некоторой определенной температурой, получило не совсем удачное название черного излучения, соответствующего этой температуре.

Таким образом, перед теоретической физикой встала задача найти явный вид этой функции, определяющей спектральную плотность энергии черного излучения. Сначала эту задачу пытались решить методами, опирающимися исключительно на термодинамические законы и, следовательно, гарантирующими достаточную общность и достоверность результата. При этом удалось показать, что полная плотность энергии черного излучения (т.е. энергия излучения, содержащаяся в единице объема внутренней части полости, находящейся в термодинамическом равновесии), пропорциональна четвертой степени температуры по Кельвину. Это закон Стефана – Больцмана.

Несколько позже с помощью весьма остроумного метода Вин доказал, что спектральная плотность энергии черного излучения, соответствующая данной частоте, должна быть пропорциональна произведению куба частоты на некоторую функцию, зависящую только от отношения частоты к температуре. Явный же вид этой функции установить с помощью одних только термодинамических методов Вину, к сожалению, не удалось.

Законы Стефана – Больцмана и Вина давали очень ценные сведения о функции спектрального распределения и прекрасно подтвердились экспериментом. Однако они совершенно ничего не могли сказать о конкретном характере распределения. В дальнейшем стало ясно, что с помощью одних только термодинамических методов продвинуться дальше в этом направлении не удастся. Для определения явного вида функции спектрального распределения необходимо было сделать какие‑либо конкретные предположения о характере поглощения и испускания излучения – отважиться покинуть твердую почву термодинамики – и вступить на рискованный путь гипотез, касающихся атомной структуры.

На первый взгляд это не трудно было сделать, поскольку электродинамика, в частности, в том виде, который придал ей Лоренц, давала, казалось, вполне удовлетворительную модель процессов испускания и поглощения излучения материей. Оставалось лишь использовать полученные в электронной теории формулы и с их помощью определить точный закон спектрального распределения плотности энергии черного излучения. Но результат оказался совершенно неожиданным. Найденное таким образом спектральное распределение (закон Рэлея) противоречило эксперименту.

Согласно закону Рэлея спектральная плотность энергии излучения должна монотонно возрастать с увеличением частоты. В то же время эксперимент определенно указывал на то, что с увеличением частоты спектральная плотность вначале растет, а затем, начиная с некоторой частоты, соответствующей максимуму плотности, падает, стремясь к нулю, когда частота стремится к бесконечности. Иначе говоря, кривая спектральной плотности энергии имеет колоколообразный вид. Поскольку по закону Рэлея спектральная плотность оказывалась монотонно возрастающей функцией частоты, то отсюда следовал, очевидно, абсолютный вывод; полная плотность энергии черного излучения при всех температурах должна быть бесконечной!

Положение, сложившееся в результате этого расхождения между теорией и экспериментом, было очень серьезным, так как оно свидетельствовало, и многие физики это сознавали, о каком‑то существенном недостатке классических теорий, непосредственным следствием которых был закон Рэлея. Легко показать (Джинс), что закон Рэлея можно получить также, применяя общие методы классической статистики к совокупности волн, заключенных внутри замкнутой полости. Все попытки получить формулу для функции спектральной плотности энергии черного излучения, отличную от формулы Рэлея и согласующуюся с экспериментом, окончились неудачей. Стало ясно, что успешно решить проблему излучения черного тела можно только, если в науку о природе будет введен какой‑то совершенно новый взгляд на вещи. Честь этого революционного шага принадлежит Максу Планку.

Планк начал свое исследование, представляя вещество в виде совокупности электронных осцилляторов, т.е. электронов, колеблющихся около своего положения равновесия под действием некоторой силы, пропорциональной удалению от положения равновесия. Он поставил перед собой задачу исследования теплового равновесия, устанавливающегося в результате обмена энергией между осцилляторами и излучением. Поскольку характер спектрального распределения энергии равновесного излучения не должен зависеть от природы материальных тел, находящихся внутри полости, то полученный при таком рассмотрении результат должен носить общий характер. Применяя к этой задаче методы классической физики, Планк получил, естественно, закон Рэлея. Но, анализируя полученные результаты, ученый заметил, что неправильность закона Рэлея определяется слишком большой ролью, которую в классической картине обмена энергией между осцилляторами и излучением играют высокочастотные осцилляторы. В самом деле, именно преувеличенная роль обмена энергией между равновесным излучением и материальными осцилляторами с высокой частотой приводит к монотонному возрастанию спектральной плотности с ростом частоты и к неправильным экспериментальным следствиям или к логическим абсурдам, о которых мы упомянули выше.

Планку пришла в голову гениальная мысль, что нужно ввести в теорию некоторый новый элемент, совершенно, разумеется, чуждый классическим представлениям, который должен подавить значение осцилляторов высокой частоты, и он выдвинул знаменитый постулат: вещество не может испускать энергию излучения иначе как конечными порциями, пропорциональными частоте этого излучения. Коэффициент пропорциональности при этом есть некоторая универсальная постоянная, имеющая размерность механического действия. Это и есть знаменитая постоянная Планка h.

Введя в игру эту парадоксальную гипотезу, Планк построил теорию теплового равновесия и вывел новый закон распределения спектральной плотности энергии черного излучения, который носит его имя. Поскольку в предположениях Планка ничто не противоречило принципам термодинамики, то полученное им выражение находилось в полном согласии с законом Стефана и законом Вина. Напротив, оно существенно отличалось от формулы Рэлея, совпадая с ней только в области малых частот и высоких температур.

Для высоких частот и низких температур это выражение привело к совершенно другим результатам. Это и понятно. При низких частотах и высоких температурах в энергетическом обмене между веществом и излучением участвует большое число очень маленьких порций энергии, и таким образом с достаточной точностью можно пренебречь дискретным «характером изменения энергии и считать, что она меняется непрерывно. При этом получаются, разумеется, результаты, полностью совпадающие с классическими. В случае же высоких частот и низких температур в обмене энергией участвует небольшое число сравнительно больших порций энергии и дискретность изменения энергии оказывается существенной.

Таким образом, закон спектрального распределения Планка позволяет определить область применимости закона Рэлея, ограничивая ее малыми значениями частот и высокими температурами. В области малых температур и высоких частот закон Рэлея оказывается неприменимым и необходимо пользоваться законом Планка. В противоположность закону Рэлея, который приводил к монотонному росту спектральной плотности энергии черного излучения, закон Планка указывает, что спектральная плотность энергии вначале монотонно растет с частотой, а затем, пройдя через некоторый максимум, монотонно убывает, стремясь к нулю при частоте, стремящейся к бесконечности. Кривая изменения спектральной плотности в зависимости от частоты имеет колоколообразный вид, а полная плотность энергии черного излучения, как легко показать, оказывается конечной. Таким образом, была разрешена одна из серьезнейших трудностей классической физики.

Сравнение закона Планка с результатами экспериментов, точность и число которых непрерывно возрастали, показало, что имеется полное согласие теории Планка с опытом, и позволило с большой точностью определить численное значение постоянной Планка. Выраженное в обычно используемых в физике единицах, оно оказалось чрезвычайно мало. Замечательно, что уже первое значение этой постоянной, найденное из опытов с черным излучением, было определено с большой точностью. В дальнейшем было показано, что численное значение постоянной Планка может быть найдено с помощью многих других экспериментов. И все эти измерения, проводившиеся с все большей и большей точностью, давали для постоянной h значения, очень близкие к тем, которые были найдены Планком из опытов с равновесным излучением.

В то время, когда Планк написал свои основные работы по теории черного излучения, его современники, вероятно, еще не осознали полностью всей важности совершившейся революции.

Введение предложенной Планком гипотезы казалось просто остроумным приемом, позволяющим улучшить теорию интересного, но в общем‑то довольно частного явления, а отнюдь не воспринималось как гениальная мысль, которая должна привести к изменению основных концепций классической физики. Но постепенно важность идей Планка становилась все более очевидной. Теоретики стали понимать, что прерывность, вносимая гипотезой квантов, несовместима с основными положениями, лежащими в основе классической физики, и требует их полного пересмотра и можно только восхищаться гениальностью Планка, который, изучая частное физическое явление, оказался в состоянии угадать один из самых основных и наиболее загадочных законов природы. Более сорока лет прошло со дня этого замечательного открытия, но мы все еще далеки от полного понимания значения этого закона и всех его следствий. День, когда была введена постоянная Планка, останется одной из самых замечательных дат в истории развития человеческой мысли.

Развитие гипотезы Планка. Квант действия

При построении своей теории равновесного теплового излучения Планк исходил из предположения, что вещество представляет собой совокупность электронных осцилляторов, при посредстве которых и происходит обмен энергией между материей и излучением. Такой осциллятор представляет собой материальную точку, удерживаемую около своего положения равновесия силой. Величина этой силы возрастает пропорционально отклонению от положения равновесия, и осциллятор является механической системой, характеризуемой одним своеобразным свойством. Это свойство заключается в том, что частота колебаний осциллятора не зависит от величины его амплитуды.

Следуя Планку, определим квант энергии осциллятора как величину, равную произведению частоты этого осциллятора на постоянную h, и предположим, что при взаимодействии осциллятора с излучением он может терять или приобретать энергию только скачком, причем величина этого скачка равна соответствующему кванту энергии. Но в таком виде гипотеза квантования энергии оказывается применимой только в случае гармонических осцилляторов. Действительно, в общем случае системы, частота колебаний которой не постоянна, а зависит от амплитуды колебаний, введенное определение кванта энергии становится неоднозначным. Планк понимал необходимость дать более общую формулировку принципа квантования, применимую к любым механическим системам и совпадающую в частном случае гармонического осциллятора с приведенной выше. Он рассуждал следующим образом. Поскольку постоянная имеет размерность действия, т.е. размерность произведения энергии на время или количества движения на путь, то ее можно рассматривать как элементарное количество действия, своего рода единицу действия в атомном мире. Рассмотрим теперь механическую систему, совершающую периодическое движение и характеризуемую только одной переменной, скажем, систему, состоящую из одной частицы, совершающей периодическое движение вдоль некоторой, прямой. Для такой системы можно вычислить интеграл действия по Мопертюи, который совпадает с интегралом действия, фигурирующим в принципе наименьшего действия, взятым по полному периоду движения.

Эта величина является определенной характеристикой периодического движения. Требуя, чтобы она равнялась произведению целого числа на постоянную Планка, получаем новую формулировку принципа квантования, применимую к любому одномерному периодическому движению. Легко убедиться, что в частном случае гармонического осциллятора этот новый принцип полностью эквивалентен прежнему принципу квантования энергии. Чтобы придать принципу квантования более общую форму, Планку пришлось отказаться от первоначальной гипотезы квантования энергии и заменить ее гипотезой о квантовании действия.

То, что в общей формулировке принципа квантования фигурирует именно действие, было одновременно и естественным, и несколько странным. Естественным потому, что эта величина играет существенную роль во всей аналитической механике согласно принципу Гамильтона и принципу наименьшего действия. Это в свою очередь привело к тому, что весь аппарат аналитической механики как бы уже был готов воспринять новый принцип квантования. Странным квантование именно действия казалось потому, что с чисто физической точки зрения трудно было понять, как такая величина, как действие, носящая довольно абстрактный характер и не удовлетворяющая непосредственно никаким законам сохранения, может представлять собой характеристику дискретности процессов атомного мира.

Действие всегда выражается в виде произведения некоторых величин, имеющих геометрическую природу, на соответствующие величины, имеющие динамическую природу. Пары этих величин образуют в аналитической механике канонически сопряженные переменные. Так, интеграл, фигурирующий в принципе наименьшего действия Мопертюи, есть криволинейный интеграл от количества движения вдоль траектории. И своего рода дискретность действия, выражаемая введением постоянной Планка, указывает на наличие определенной взаимосвязи между пространством и временем, с одной стороны, и динамическими явлениями, которые мы пытаемся локализовать в этом пространстве и времени, с другой. Эта взаимосвязь носит совершенно новый характер, абсолютно чуждый концепциям классической физики. И в этом заключается глубокое и революционное значение идей, положенных Планком в основу теории равновесного излучения черного тела.

Планк исходил из предположения, что вещество может испускать излучение не непрерывно, а только отдельными конечными порциями. Это, однако, не влечет за собой однозначного предположения о дискретности структуры излучения. Можно построить две различные теории, покоящиеся на двух противоположных предположениях относительно характера поглощения излучения веществом. В основе первой, пожалуй, более последовательной и завоевавшей впоследствии всеобщее признание, лежит предположение о том, что элементы вещества, например электронные осцилляторы, могут находиться только в таких состояниях движения, которые соответствуют квантованным значениям энергии. Отсюда непосредственно следует, что как испускание, так и поглощение излучения может происходить только дискретно отдельными порциями, или квантами. Это в свою очередь необходимо влечет за собой утверждение о дискретности структуры излучения.

Смущенный этим непонятным следствием своих собственных идей, Планк долгое время пытался развивать другую, менее радикальную форму квантовой теории, в которой только испускание излучения носило дискретный характер, а поглощение оставалось непрерывным. Считалось, что вещество может непрерывно поглощать падающее на него излучение, но испускать его оно может лишь дискретно, отдельными квантами. Легко понять цель, которую Планк преследовал. Он старался защитить и сохранить прежнее представление о непрерывной природе излучения, поскольку казалось, что только в этом случае квантовая теория не будет противоречить волновой теории, нашедшей неоднократные подтверждения в многочисленных и весьма точных экспериментах.

Однако, несмотря на всю изобретательность, вложенную Планком в развитие этой формы квантовой теории, она была опровергнута дальнейшим ходом физики и, в частности, эйнштейновым объяснением фотоэффекта и успехом теории атома Бора.

Поиск по сайту: