Динамика системы материальных точек

В динамике материальной точки поле сил предполагается заданным в каждой точке для каждого момента времени. Но в классической механике силовое поле, действующее на какую‑либо материальную точку, само создается другими материальными точками. Таким образом, вполне естественно рассмотреть совокупность взаимодействующих между собой материальных точек и определить характер движения такого ансамбля.

На первый взгляд подобная задача может показаться очень сложной, поскольку каждая материальная точка, входящая в эту систему, перемещается в результате воздействия на нее других материальных точек, что в свою очередь приводит к изменению силы, действующей на данную материальную точку со стороны остальных.

Тем не менее, с математической точки зрения задача формулируется по‑прежнему просто: в каждый момент времени произведение массы какой‑либо материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе, которая, разумеется, зависит от положения всех остальных материальных точек системы. Таким образом, для ансамбля, состоящего из N материальных точек, мы получаем систему из 3N дифференциальных уравнений второго порядка по времени для 3N координат всех N материальных точек. Как следует из математического анализа, решение этой системы уравнений полностью определяется заданием положений и скоростей всех материальных точек системы в начальный момент времени. Так обобщается на случай системы материальных точек принцип механического детерминизма, установленный ранее для случая одиночной материальной точки.

Изучение движения системы материальных точек очень упрощается, если ввести понятие центра инерции системы, который, как известно, совпадает с центром тяжести всех материальных точек системы. Оказывается, что если на систему не действуют никакие внешние силы, то ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Этот результат следует из одного общего свойства сил, вводимых в механике, свойства, которое выражается принципом равенства действия и противодействия. Согласно этому принципу, сила, действующая на материальную точку A со стороны материальной точки B, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой точка A действует на точку B.

В том случае, когда система обладает потенциальной энергией, можно предположить, что потенциальная энергия зависит только от взаимного положения материальных точек – гипотеза с физической точки зрения вполне естественная.

Итак, задача определения движения системы разбивается на две: сначала находится движение центра инерции, а затем – движение системы относительно ее центра тяжести. Ряд хорошо известных теорем облегчает решение этой задачи.

Количество движения системы материальных точек определяется просто как сумма (геометрическая) количеств движения всех входящих в нее материальных точек. Оно выражается в виде суммы произведений масс на соответствующие скорости, т.е. также использует понятие скорости. Что касается энергии системы, то она всегда содержит слагаемое, соответствующее кинетической энергии и равное сумме кинетических энергий всех материальных точек, т.е. полу сумме произведений массы каждой материальной точки на квадрат ее скорости. Если же система консервативна, то полная энергия включает в себя также потенциальную энергию, которая в свою очередь состоит из двух слагаемых. Первое равно сумме потенциальных энергий всех материальных точек во внешнем поле, действующем на систему (если таковое имеется). Второе слагаемое, отличное от нуля и в том случае, когда внешнее поле отсутствует, есть энергия взаимодействия материальных точек. Оно равно сумме взаимных потенциальных энергий каждой пары частиц.

Весьма существенно, что взаимную потенциальную энергию нельзя представить в виде суммы потенциальных энергий, приписываемых каждой материальной точке в отдельности. Каждая пара взаимодействующих материальных точек дает вклад в полную энергию. Следовательно, индивидуальность материальной точки выражена тем слабее, чем сильнее взаимодействие между ними. Наличие этой взаимной энергии характерно для систем взаимодействующих материальных точек и отличает их, например, от ансамбля невзаимодействующих материальных точек, находящихся в заданном внешнем поле.

Динамика систем материальных точек – основа динамики твердых тел, поскольку последние можно представить в виде системы материальных точек, расстояния между которыми остаются неизменными из‑за сил взаимодействия, чрезвычайно быстро возрастающих при отклонении этих точек от своего положения равновесия. Тот факт, что взаимное расположение материальных точек в таких твердых телах остается неизменным, позволяет определить его положение в каждый момент времени заданием всего лишь шести параметров.

Такими параметрами могут служить, например, три координаты какой‑либо произвольной точки тела и три угла, определяющих его ориентацию относительно некоторой системы координат.

Если мы имеем задачу о движении нескольких твердых тел, каким‑либо образом связанных между собой, то число параметров, необходимых для описания такой системы, возрастает. Однако при написании уравнений движения всегда можно исходить из уравнений для системы материальных точек, предполагая при этом, что твердые тела представляют собой некоторую совокупность таких материальных точек.

Таким образом, предвосхищая развитие атомной физики, механика твердых тел строилась исходя из предположения о дискретности материи. Здесь следует сделать одно замечание. В обычных экспериментах мы имеем дело, как правило, с крупномасштабными телами, а не с материальными точками, и, в частности, большинство методов измерения пространства и времени, необходимых для изучения различных явлений, основано на использовании свойств твердых тел. Именно эти понятия пространства и времени, взятые из повседневной жизни и наблюдений над крупномасштабными телами, в частности твердыми, служат нам для определения законов движения материальных точек. Определив таким образом эти законы, мы снова возвращаемся к изучению механических свойств твердых тел, рассматривая их как совокупность материальных точек. Хотя такой путь и непротиворечив, однако предположение, что понятия пространства и времени, возникшие из наблюдений над твердыми телами, можно без изменений использовать при изучении процессов, происходящих с элементарными частицами, – весьма смелая гипотеза. Можно было бы предположить, что применение этих понятий к элементарным актам потребует их серьезной модификации. Единственное условие, которое при этом на самом деле должно соблюдаться, заключается в требовании, чтобы свойства элементарных частиц были таковы, что, переходя к системам из очень многих частиц, мы имели бы возможность получать уже известные нам свойства материальных тел (в частности, свойства твердых тел) и обычные определения пространства и времени. Правда, это замечание, важность которого недавно подчеркнул Ж.Л. Детуш, не является, по‑видимому, серьезным возражением против метода, используемого в классической аналитической механике, поскольку материальную точку там можно было бы определить не как элементарную частицу, а как частицу материи, имеющую пренебрежимо малые размеры, но содержащую все же в себе чрезвычайно большое число элементарных частиц. Иное дело в атомной физике, когда, допуская существование элементарных частиц, пытаются применять к ним классические законы механики материальной точки или какие‑либо Другие законы, предполагающие справедливость наших обычных понятий пространства и времени. Здесь это возражение становится серьезным.

Поиск по сайту: