Символ и диаграмма Венна

Одной из часто встречающихся операций над множеством является разбиение множество на систему подмножеств. Рассмотрим некоторое множество М и систему множеств ={Х₁, Х₂, Х₃,...., Х_n}. Эта система () называется разбиением множества М, на полную систему множеств, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. " Х_i Ì является подмножеством М, т.е. если Х_i Ì Х_i M (i=1,2,....,n),

2. Х_i Х_j = Ø - " Х_i и Х_j Ì , если i j.

3. Х_i = М, т.е. - объединение всех Х_i дает множество М.

Пусть дано n множеств. Они изображаются в плоскости n областями, ограниченными замкнутыми гладкими линиями. (При построении символов и диаграммы Венна -в отличие от диаграммы Эйлера– каждое множество изображается областью ограниченной произвольной замкнутой линии (квадрат, прямоугольник, круг, овал и др.), причем каждое множество должно иметь одну и только одну общую часть с каждым предыдущим множеством).

При изображении указанным способом “ n ” множеств, соответствующие их контуры разбивают весь универсум на 2ⁿ непересекающихся частей. Полученное таким образом изображение заданной совокупности множеств универсума называется символом Венна. Эти замкнутые области, как и круги Эйлера, соответствует множествам А₁, А₂,..., А_n, а каждая из упомянутых (2ⁿ) частей, может быть представлена как пересечение n множеств Ã_i, где -в зависимости от этих частей- Ã_i= = А_i или Ã_i = _i (i=1, 2,…, n).

Пример: При n = 3, имеем A₁, A₂, A₃ и, соответственно, весь универсум разбивается на 2ⁿ = 8 не пересекающихся частей (подмножеств Х_i):

I - A₁ A₂ A₃,

II - A_{1 2 3},

III - A₁ A_{2 3}, II III IV

IV - ₁ A_{2 3} , _V ^I _VI

V - A_{1 2} A₃ , _VII

VI - ₁ A₂ A₃ , ^VIII

VII - _{1 2} A₃ ,

VIII - _{1 2 3} . Символ Венна при n=3.

Система теоретико –множественные соотношений отображается на символ Венна выделением (штриховкой) тех ячеек, которые соответствует пустому подмножеству. В результате получают диаграмму Вена. При этом объединение всех заштрихованных участков соответствует пустому множеству (Ø), а объединение всех незаштрихованных участков дает универсум (U).

Примеры:

1. Для отображения уравнения с правой частью (равной) Ø следует заштриховать области соответствующие его левой части: А = =>

согласно 12⁰, =U. (В данном примере в универсуме «штрихуется» =А).

2. Уравнение A=B в соответствий с 20⁰ свойством приводится к виду (A ) ( B)=Ø и поэтому следует заштриховать ту часть А, которая не входит В, и ту часть В, которая не входит в А:

A = B <=> (A ) (B Ā) = I. - A ; II. - A B || || III. - B ; IV. -

1. Включению А В соответствует уравнение A = Ø

и в этом случае на соответствующей диаграмме

штрихуется часть I, соответствующая пересечению

множества А с множеством : I II III

При этом множество А будет состоять только из

тех элементов, которые будут входить во множество В,

т.е. – только из части II.

Диаграмма Эйлера изображенная для 4 множеств, она демонстрирует невозможность применения таких диаграмм для случая, когда число множеств больше 3.

right-hand member, second member

first member, left-hand member

left(-hand) side (уравнения)

Поиск по сайту: