Понятия о множествах и его элементах

Министерство образования и культуры Кыргызской Республики

Кыргызский Технический Университет им. И.Раззакова

Факультет информационных технологий

Кафедра ПОКС

Краткий курс лекции

«Дискретная математика»

(Для программистов)

Бишкек 2004

Cодержание

I. Основные элементы теории множеств

1.1 Понятия о множествах и его элементах.......................... 4

1.2 Операция над множествами.................................... 5

1.3 Круги и диаграммы Эйлера.................................... 6

1.4 Свойства операций над множествами......................... 7

1.5 Обобщение операций над множествами.......................... 8

1.6 Тождественные преобразования................................. 8

1.7 Доказательство равенств и тождеств между множествами........... 9

1.8 Решение уравнений с множествами......................... 10

1.9 Символ и диаграмма Венна.....................................11

I. Основные элементы теории множеств

Понятия о множествах и его элементах

Понятие множество относится к категорий одной из наиболее общих, основополагающих понятий математики. Однако, вместо строгого определения этого понятия обычно используется некоторое основное положение о множестве и его элементах.

Интуитивно под множеством понимается совокупность определенных вполне различаемых элементов. Основоположник теории множеств – немецкий математик Георг Кантор даёт следующее определение: Множество - это совокупность отдельных объектов составляющих одно целое.

Группа современных французских математиков выступающих под псевдонимом Н.Бурбаки исходит из такого определения: Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в определенных отношениях между собой или с элементами других множеств.

Следует отметить что о множестве можно говорить тогда, когда его элементы различимы между собой. (например воду в некотором объме нельзя рассматривать как множество капель).

Для обозначения конкретного множество используется различные заглавные буквы

A, B, C... или, иногда - с нижным индексом- A₁, A₂, A₃,..., A_n.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называется элементами данного множества. Для их обозначения используется различные строчные буквы, либо строчные буквы с нижным индексом:

a, b, c или a₁, a₂, a₃,...., a_n.

Утверждение что множество состоит из различных элементов a₁, a₂, a₃,...., a_n записывается в виде:

A ={ a₁,a₂,a₃,…,a_n }.

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и множество каких либо других объектов. (Например: множество книг на полке, где каждая книга является элементом этого множества, а каждая книга есть множество страниц).

Принадлежность элемента к множества выражается символом : Записью a A обозначают, что a – есть элемент множества А, аналогично- a₁, a₂, a₃,...., a_n A означает,что a₁, a₂, a₃,...., a_n – элементы множесва А.

Отсутствие какого-то элемента в данном множества выражается символом или :

Запись b А или b А означает, что b не является элементом множества А (т.е.- во множестве А нет элемента b).

По количеству элементов множества разделяют на конечные и бесконечные. Среди бесконечных множеств выделяется счетное множество – это такое бесконечное множество, элементы которого возможно расположить в определенной последовательности, т.е.- перебрать их и/или перенумеровать. (Например - множество четных чисел).

Важное значение имеет понятие пустого множества, которое не содержит никаких элементов. Для его обозночения использует символ – Ø. Это понятие используется для определения не существующей совокупности элементов. (Например- множество зеленных слонов является примером пустого множества).

Множество, состоящее из всей совокупности допустимых элементов некоторого вида называют универсумом или основным (универсальным) множеством и обозначают символом U.

Множества А, все элементы которого принадлежат множеству В называется подмножеством (частью) множества В. Такое отношение между множествами называется включением и обозначается символом или . Запись А В или В А означает, что «множество А является подмножеством (частью) множества В» («множество А включено во множество В» или – «множество В включает/содержит множество А».

Математически (в символьном виде) данное понятие (отношение множеств А и В) записывается в виде:

Если x A => x B, то А В и наоборот: запись А В означает, что если x A то x B,

(Символ (квантор) –означает “всякий”, “любой”, “все”, “каждый” и запись x – читается «любой (всякий, каждый)элемент x». Символ => (иногда →) - выражает отношение следования, т.е. – причинно-следственную связь двух фактов).

Наряду со строгим включением ( или ), которое исключает совпадение двух множеств,используется и отношение не строгого включения, выражаемое символом или . При этом запись А В означает, что множество А включено/содержится в В или совпадает с ним, т.е. отношение А В допускает и отношение тождественности (А=В). В соответствии с этим всякое множество можно рассматривать и как подмножество самого множества (А А).

Любое непустое множество А имеет по крайней мере два различных подмножества: А и Ø. Эти подмножества называются несобственными, а все другие подмножества А - называются собственным.

Множество, все элементы которого является подмножеством множества А, называют множеством подмножеств (множеством – степенью) А и обозначается P (A).

Множество задается одним из двух способов:

1. Если оно конечно, то внутри фигурных скобок { } записывается перечень всех элементов из которых оно состоит: А = {а_1, а₂, …, а_n}.

2. Если же множество бесконечно, то оно задается определяющим свойством P(x), которым обладает каждый элемент (х) данного множества и записывается в виде.

А = { x| P(x) } или A = { x: P(x) }.

Р(х) – здесь, обычно, словесное утверждение об определяющем признаке (качествах, свойствах), характерном для всех элементов множества. Чаще всего это утверждение выражается в виде различных математических соотношений. В подобном случае множество записывается в виде:

Например: 1. А ={ множество людей| которые имеют фамилию Петров };

2. B ={ x| x²-4x+3=0 }. (В данном случае будем иметь B = { 1, 3 }).

Два множества А и В считаются равными (тождественными) тогда и только тогда, когда все элементы множества А являются элементамм множества В и наоборот. Математически это выражается записью А = В <=> A B и В А или, учитывая определение подмножества, – соотношением

А = В <=> 1) x A => x B и 2) х B => х A

Поиск по сайту: