 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Свойства операций над множествами
Указанные операции, как и различные операции других разделов математики, обладают рядом общих свойств:
10 A 
B=B A; A 
B=B A – свойство коммутативности.
20 A (B C)=(A B) C; A (B C)=(A B) C – свойство ассоциативности.
30 A (B C)=(A B) (A C); A (B C)=(A B) (A C) – свойство
дистрибутивности.
Свойства пустого множества и уневерсума относительно операций и .
40 A Ø =A; A U =A.
50 A U = U; A Ø = Ø.
60 A 
= U; A = Ø.
70 
= U; 
= Ø.
80 A A=A; A A=A – закон идемпотентности.
90 A (A B) = A; A (A B) = A – закон поглощения.
100 
= 
; 
– теорема де Моргана.
К примеру диаграммы Эйлера к первому из соотношений 100 имеют вид:
|| - 
= - 
# - 
# - 
Все перечисленные выше свойства представленны парами двойственных (дуальных) отношений: одно из них следует из другого при замене операций 
на 
и наоборот на .
Соответствуюшие пары символов и а так же множества Ø и U называются дуальными.
При замене символов входяших в данные утверждения (соотношения) на дуальные мы получим новое предложение (соотношения), которое так же является утверждением. В этом заключается так называемый принцип двойственности или дуальности.
Кроме перечисленных свойств используется и следующие свойства операций дополнения (обозначаемое иногда символом), \, +, 
и равенства.
110 Если А В= U и А В= Ø, то А= 
и В= .
120 =U \А.
130 
=А.
140 А\В=А .
150 А+В=В+А.
160 А+В=(А ) ( В).
170 (А+В)+С=А+(В+С).
180 А+ Ø= Ø+А=А.
190 А 
В <=> A B=A или- А В= В, или- А = Ø.
200 А=В <=> (А ) ( В)= Ø или А+В= Ø.
Приведенные здесь свойства 110 и 120 не изменяется при замене символов дуальными, поэтому их называют самодвойственным.
Принцип дуальности можно распростронить и на операций \ и +, если использовать свойства 140 и 150.
Согласно свойству 190 отношение А В можно записать как A B=A или же А В= В, но так как дуальным для A B=A является А В= A, то следовательно дуальным для А В следует считать отношение В А. Это означает, что относительно символа дуальным является противоположный символ 
и наборот.
Перечисленные 20 свойств различных операций со множествами используют для доказательства различных утверждений и соотношений между множествами, а также при выполнении тождественных преобразований и упрощении выражений, содержащих множества.
Поиск по сайту: