Доказательство равенств и тождеств между множествами

Круги Эйлера можно использовать не только для наглядного изображения различных множеств и результатов операций над множеством в различных теоретико – множественных отношениях, но и для для проверки этих соотношений. Для этого расматривают выражения стоящие в правой и левой частях проверяемых соотношений; отдельно для каждого из них рисуют соответствующие диаграммы Эйлера и проверяют равны или неравны (заштрихованные) области диаграмм, соответствующие обеим частям заданного соотношения. При совпадении этих областей говорят, что данное соотношение справедливо.

Пример: А (В С) = (А В) (А С)

= - В C = - А В

|| - A C

|| - А (В С) # - (А В) (А С)

Такой способ является самым простым способом проверки справедлевости заданных соотношений.

Другой (прямой) способ доказательства равенств и тождеств, содержащих множества с различными операциями, основывается на доказательстве 2-х положений:

I. элемент множества, соответствующего левой части заданного равенства, является также элементом множества, соответствующего правой его части.

II. элемент множества, соответствующего правой части равенства, является элементом и множества, соответствующего его левой части.

Пример: A (B C) = (A B) (A C)

I. Пусть x A (B C) => /тогда, по определению операции объединения/ => x хотя бы одному из двух множеств A и В С =>

а). Если х А => x A B и x A C => x (A B) (A C).

b). Если же х В С => x B и х С => x B A и x C A => /по определению операции пересечения/ => x (B A) (C A).

В любом случае, как видно, из x A (B C) => x (A B) (A C). Это означает, что А (B C) (A B) (A C).

II. Пусть x (A B) (A C) => /по определению операции пересечения/ => x A B и x A C => x A или x B и, в то же время, x A или x C => (одновременно в обеих случаях)

Либо а). x A, либо b). x A

а). Если х А => x A D, где D - множество и в частности D=B C => x A (B C).

b). Если же х А, то (одновременно) х B и x C => x B C => x (B C) E, где Е - множество, в том числе Е=А. Таким образом, если х (А В) (А С) => х А (В С).

Как видно, в любом случае (x A или x A) при x (A B) (A C) имеем х А (В С), тем самым показано, что (А В) (А С) А (В С).

Таким образом, показано, что левая часть заданного равенства есть подмножество правой, а его правая часть - есть подмножество левой. По определению это будет означать совпадение множеств, записанных в левой и правой части равенства, т.е. – справедливость тождества А (В С)=(А В) (А С).

Подобным образом доказываются все равенства и тождества со множествами.

Поиск по сайту: