Обобщение операций над множествами

Из свойства комутативности следует, что объединить несколько множеств можно производить последовательно, не учитывая порядок следовония эти множеств; следовательно объеденение совокупности множеств можно выразить соотношением: А₁ А₂ ...... А_n= А_i - это есть, по определению операции объединения множеств, совокупность элементов, принадлежаших хотябы одному из перечисленных множеств А_i .

То же самое возможно и для пересечений этих множеств:

А₁ А₂ ...... А_n= А_i - это будет множеством элементов, принадлежаших (одновременно) всем множествам А_i.

Используя приведенные соотношения можно обобщить и другие соотношения, с операциями и/или .

Пример: Для теоремы де Моргана:

; .

Тождественные преобразования

Алгебра множеств представляет собой теоретико–множественный аналог обычной алгебры действительных чисел и основана на использовании перечисленных свойств операций над множествами.

Одним из разделов этой алгебры является тождественные преоброзования, с помощью которых можно упрощать или преобразовывать к удобному виду различные выражения содержашие множества.

Пример:

(A\ B) (B\ A) = (A ) ( B) = (A ) (B ) = Ø

Путем таких преобразований (левой и/или правой частей уравнений и тождеств), в результате которых достигается максимальное упрощение заданного соотношения, доказывается (или отклоняется) справедливость заданных равенств и тождеств.

1. Покажем, что имеет место равенство (А В С) ( С) ( С)=С:

(А В С) ( С) ( С) = (А В С) (С ( )) =

= С (( ) (А В)) = С (() (А В))=С U = С.

2. (M\N) (N\M)=

M\N=M , N\M=N →

(M\N) (N\M)=(M ) (N )=(M ) (N ) = = .

Следует отметить, что любая теорема алгебры множеств (то есть любое тождество) выводится из первых пяти свойств операций над множеством путем подобных тождественных преобразований, а они – доказываются (прямым способом), исходя из отношения принадлежности .

Поиск по сайту: