Теоремы сравнения положительных рядов

18.1.3.1.1. Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и , для которых, хотя бы начиная с некоторого места (при n > N), выполняется неравенство . Тогда:

если сходится ряд (В), то сходится ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится ряд (В).

Другими словами, из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда. Сразу отметим, что из расходимости большего ряда, как и из сходимости меньшего ряда, никаких выводов о сходимости второго ряда сделать нельзя.

Доказательство этого утверждения непосредственно следует из сформулированного в начале раздела признака сходимости положительных рядов: если сходится больший ряд, то последовательность его частичных сумм ограничена, следовательно, ограничена последовательность частичных сумм меньшего ряда, следовательно, меньший ряд сходится; если расходится меньший ряд, то последовательность его частичных сумм неограничена, следовательно, неограничена последовательность частичных сумм большего ряда, следовательно, больший ряд расходится.

Примеры применения признака сравнения. 1. . Как и в случае несобственных интегралов, применение признака сравнения требует сначала сформулировать гипотезу о том, каково поведение ряда: если мы будем доказывать, что ряд сходится, мы должны будем оценить сверху общий член ряда так, чтобы ряд из оценок сходился; если будем доказывать, что ряд расходится, мы должны оценить общий член ряда снизу так, чтобы ряд из оценок расходился. В этом примере в числителе бесконечно большая (ББ) третьего порядка по n при n , в знаменателе - четвёртого порядка, поэтому при больших ~ . Доказываем, что ряд расходится: (мы уменьшили числитель и увеличили знаменатель), гармонический ряд расходится, следовательно рассматриваемый ряд расходится.

2. . Здесь всё просто: , ряд расходится.

3. . Этот пример сложнее, и в числителе, и в знаменателе стоят ББ при n функции. Пользуемся тем, что логарифм - ББ низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью n. Так как . Ряд - ряд Дирихле с s =3/2>1, сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.

4. . Понятно, что общий член этого ряда ведёт себя так же, как и общий член ряда, рассмотренного в первом примере, так как добавки и в числителе, и в знаменателе - ББ низших порядков по сравнению с главными членами; в то же время , и мы не имеем права делать вывод о расходимости ряда исходя из расходимости гармонического ряда. Такие примеры легко решаются с помощью предельного признака сравнения.

18.1.3.1.2. Предельная форма признака сравнения. Если существует конечный , то ряды (А) и (В) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела для . Последнего неравенства достаточно для доказательства всех утверждений теоремы. сходится сх-ся сх-ся. остальные случаи схематично: (А) расх-ся (3 К /2 B) расх-ся (B) расх-ся; (B) сх-ся (3 К /2 B) сх-ся (A) сх-ся; (B) расх-ся (К /2 B) расх-ся (A) расх-ся.

Примеры применения предельного признака сравнения. 1. . Теперь этот пример решается просто. Будем считать исходный ряд рядом (А), возьмём ; , (В) расх-ся (А) расх-ся.

Мы можем значительно расширить круг задач, которые способны решить, за счёт таблицы эквивалентных бесконечно малых:

2. . Так как ^~ при , ^~

^~ , поэтому , , (В) сх-ся (А) сх-ся.

3. . Аргумент логарифма , так как ^~ при , ^{~ ~} , поэтому , , (В) сх-ся (А) сх-ся и т.д.

Сравнение положительного ряда с рядом Дирихле позволяет сформулировать такое правило: если при функция - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то ряд сходится; если не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то ряд расходится. Примеры:

4. . При эквивалентна функции , поэтому ряд сходится.

5. . При эквивалентна функции , поэтому ряд расходится.

6. . При эквивалентна функции , поэтому ряд расходится.

В этих примерах мы, в основном, сравнивали ряд с рядом Дирихле. Сравнение с геометрической прогрессией (в том смысле, чтобы извлечь из общего члена аналог знаменателя прогрессии q), даёт признаки Коши и Даламбера.

18.1.3.2.Признак сходимости Коши (радикальный). Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q <1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q =1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

Доказательство. 1. Пусть <1. Возьмём . .

Если q <1, то число . Итак, при . Прогрессия сходится, так как р <1, поэтому сходится, поэтому сходится.

2. Пусть >1. Возьмём . .

Если q >1, то число . Итак, при . Прогрессия расходится, так как р >1, поэтому расходится, поэтому расходится.

3. Чтобы убедиться, что в случае q =1 мы не можем сделать вывод ни о сходимости, ни о расходимости ряда, рассмотрим два примера: и . Первый из этих рядов сходится, второй расходится, но в обоих случаях q =1, например .

Примеры применения признака Коши. 1. . , поэтому ряд сходится.

2. . , поэтому ряд сходится.

3. , поэтому ряд расходится.

18.1.3.3.Признак сходимости Даламбера. Пусть для положительного ряда существует . Тогда

если q <1, то ряд сходится,

если q >1, то ряд расходится,

если q =1, то ряд может и сходиться, и расходиться.

Доказательство. 1. Пусть <1. Возьмём . . Если q <1, то число . Итак, при . Выпишем это неравенство для : , , , …, . Все члены ряда, начиная с N +2-го, меньше членов сходящейся геометрической прогрессии, поэтому сходится, поэтому сходится.

2. Пусть >1. Возьмём . .

Если q >1, то число . Итак, при . Выпишем это неравенство для : , , , …, . Все члены ряда, начиная с N +2-го, больше членов расходящейся геометрической прогрессии, поэтому расходится, поэтому расходится.

3. Для рядов и мы опять получим q =1. Первый из этих рядов сходится, второй расходится, но для обоих q =1, т.е. в этом случае вопрос о сходимости ряда действительно остаётся открытым.

Признак Даламбера хорошо работает, если общий член ряда содержит факториалы. Примеры. 1. ; , поэтому ряд сходится.

2. ; , поэтому ряд сходится.

3. ; , поэтому ряд расходится.

4. . Прежде чем вычислять q, разберёмся, на сколько сомножителей в выражении больше, чем в (3 n)!: ; , поэтому ; , поэтому ряд сходится.

18.1.3.4. Интегральный признак Коши. Радикальный признак Коши и признак Даламбера могут установить факт сходимости или расходимости для широкого круга рядов, но для рядов, общие члены которых содержат степенные выражения, они дают q =1, и вопрос о сходимости остаётся открытым. Мы это видели на примере рядов и . То же мы получим для рядов вида , и т.д. Для некоторых из этих рядов оказывается результативным интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть члены положительного числового ряда являются значениями непрерывной монотонно убывающей неотрицательной функции при натуральных значениях аргумента: Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Обозначим . Согдасно геометрическому смыслу определённого интеграла, это площадь криволинейной трапеции под кривой у = над отрезком [1, n ]. Частичная сумма - площадь ступенчатой фигуры, расположенной над криволинейной трапецией (сплошная верхняя граница на рисунке). Сумма - площадь ступенчатой фигуры, расположенной под криволинейной трапецией (пунктирная верхняя граница на рисунке). Очевидно, , или . Из этого неравенства, в котором , , - монотонно возрастающие с ростом n последовательности, и следуют все утверждения теоремы. Например:

1. Пусть интеграл сходится. Это означает, что существует конечный , т.е. последовательность ограничена сверху последовательность ограничена сверху существует конечный , т.е. ряд сходится.

2. Пусть интеграл расходится. Это означает, что бесконечен, т.е. последовательность неограничена сверху последовательность неограничена сверху не существует конечного , т.е. ряд расходится.

3, 4. Случаи, когда сходится и расходится ряд, рассмотреть самостоятельно.

Теперь мы можем дать простое доказательство того, что ряд Дирихле

сходится при s >1 и расходится в остальных случаях. Функция удовлетворяет условиям теоремы: непрерывна, монотонно убывает, . Интеграл сходится, как мы знаем, при s >1 и расходится при других значениях s, что и требовалось доказать.

Другие примеры применения интегрального признака Коши:

. Здесь удовлетворяет условиям теоремы; интеграл сходится, поэтому ряд сходится.

. Здесь удовлетворяет условиям теоремы; интеграл расходится, поэтому ряд расходится.

. Здесь удовлетворяет условиям теоремы; интеграл сходится, поэтому ряд сходится.

. Здесь установить, что функция удовлетворяет условиям теоремы, немного сложнее. То, что , очевидно (например, и теорема о пределе промежуточной функции). Для доказательства того, что функция монотонно убывает, найдём её производную; при этом придётся воспользоваться логарифмическим дифференцированием: , т.е. монотонное убывание действительно имеет место. Вычисляем интеграл: , и интегрированием по частям убеждаемся, что интеграл сходится, следовательно, ряд сходится.

На этом мы заканчиваем изучение рядов с положительными членами; в следующем разделе будут рассмотрены ряды, члены которых могут иметь произвольные знаки. Для положительных рядов мы изучили целую кучу признаков сходимости, от простого признака сравнения до интегрального признака Коши. На самом деле это малая часть существующих методов исследования сходимости рядов, имеются значительно более тонкие признаки. Все эти признаки, по существу, базируются на признаке сравнения: если ряд сходится, то все ряды, члены которых не больше членов этого эталонного ряда, сходятся, и наоборот, если эталонный ряд расходится, то расходятся все ряды, члены которого не меньше членов этого ряда. В роли эталонного ряда может браться несобственный интеграл, но это несущественно. Естественен вопрос: зачем такие излишества, нельзя ли найти универсальный ряд, с помощью которого удастся сформулировать универсальный признак сходимости? Можно показать, что такого универсального ряда не существует: для любого сходящегося ряда можно построить ряд, который сходится ещё медленнее (в том смысле, что его остаток есть бесконечно малая низшего порядка по сравнению с остатком эталонного ряда); для любого расходящегося ряда можно построить ряд, который расходится медленнее (т.е. его частичные суммы есть бесконечно большие низшего порядка по сравнению с частичными суммами расходящегося эталонного ряда).

Поиск по сайту: