Теореми про лінійно залежні і лінійно незалежні вектори

Лекція 5

Теорема 5.1. Якщо система векторів лінійно залежна, то після приєднання до неї будь-якої кількості нових век­торів знову утворюється лінійно залежна система.

Доведення. Це випливає із рівності

в якій серед є такі, які відрізняються від нуля, а всі

,…, .

Нехай задано систему векторів . Будь-яку частину ці­єї системи векторів назвемо її підсистемою. Тоді теорему 3.1 можна сфо­рмулювати так: Якщо будь-яка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, то і сама система, лінійно залежна.

Для системи лінійно незалежних векторів справедливе таке твер­дження:

якщо система складається із лінійно незалежних векторів, то будь-яка її підсистема також складається із лінійно незалежних векторів.

Теорема 5.2. Для того щоб система із к векторів була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із п векторів був лінійною комбінацією решти векторів.

Теорема 5.3. Будь-яка система векторів, до якої входить нуль-вектор, є лінійно залежною.

Теорема 5.4. Якщо система векторів ₁, ₂,..., _k лінійно неза­лежна, а система векторів ₁, ₂,..., _k, - лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією решти векторів системи.

Доведення. Рівність

можлива лише при 0, тому що в протилежному випадку дана сис­тема буде лінійно незалежною. З останньої рівності знаходимо

Позначивши ; ;…; ,

Дістанемо

Теорема 5. 5. Якщо .... — лінійно незалежна система векторів, а вектор не можна подати у вигляді лінійної комбіна­ції цих векторів, то система векторів .... , є лінійно не­залежною.

Цю теорему легко довести від супротивного.

Поиск по сайту: