СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Нехай задано систему лінійних рівнянь

в якій коефіцієнти і вільні члени відомі, а – невідомі. Розв’язати систему– це означає знайти впорядковану сукупність чисел таку, що при заміні відповідно на кожне рівняння перетворюється на тотожність.

Систему рівнянь можна записати у векторній формі. Для цього введемо у просторі, розмірність якого дорівнює числу рівнянь, вектори

, , …, , .

Тоді система набере вигляду

Згідно з цим рівнянням розв’язання системи можна звести до встановлення лінійної залежності системи векторів , , …, і . Так, система не має розв’язку, коли вектори , , …, лінійно незалежні.

Введемо матрицю коефіцієнтів системи векторів, матрицю-стовпець правої частини, матрицю-стовпець невідомих

, ,

Використовуючи означення добутку матриць, систему можна записати у вигляді . Ця форма запису системи називається матричною.

Поставивши задачу про відшукання розв’язку системи, ми не задавали ніяких обмежень ні на число рівнянь, ні на число невідомих.

Тому система може не мати розв’язку.

Наприклад,

Система може мати нескінченну множину розв’язків.

Наприклад,

Для цієї системи впорядкована трійка чисел

де a (будь-яке дійсне число) є розв’язком.

Система може мати також єдиний розв’язок.

Наприклад,

Розв’язком цієї системи є тільки одна впорядкована пара чисел (2; 1).

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язок, і несумісною, якщо не має розв’язків.

Перед тим як встановити умову сумісності системи лінійних рівнянь, введемо деякі поняття. Матриця А коефіцієнтів при невідомих системи називається основною.

Приєднаємо до матриці А стовпець вільних членів. Дістанемо так звану розширену матрицю А^* даної системи:

.

Теорема Кронекера – Капеллі (умова сумісності системи лінійних рівнянь). Система сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці:

Д о в е д е н н я. Якщо система має розв’язок , то вектор є лінійною комбінацією векторів , , …, , тобто стовпчик із вільних членів матриці є лінійною комбінацією стовпців матриці А системи. Базисні мінори матриць А і А^* не змінювались: . Якщо , то базисні мінори обох матриць збігаються, і згідно з теоремою про базисний мінор справедливе рівняння , тобто система має розв’язок.

Поиск по сайту: