Загальний і частинний розв’язки

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо праві частини цих рівнянь дорівнюють нулю:

Така система завжди сумісна, тому що розширена матриця відрізняється від основної на стовпець, який являє собою нуль-вектор. Оскільки система, яка має нуль-вектор завжди лінійно залежна, то ранг розширеної матриці збігається з рангом основної. Це очевидно, тому що система завжди має тривіальний розв’язок:

x₁= x₂= x₃= … = x_n=0.

Запишемо систему у векторній формі:

і доведемо, що сукупність розв’язків системи утворює підпростір. Для цього треба довести, що коли вектори

є розв’язком системи, то i також будуть розв’язками цієї системи.

Дійсно, за умовою

Додавши ці рівності, дістанемо

Помноживши рівняння (6.15) на λ знайдемо

Це означає, що та також є розв’язками системи.

Нехай матриця

має ранг r, тобто серед векторів є r лінійно незалежних, причому . Тоді система векторів

де j=r+1, r+2, …, n лінійно залежна:

Покладемо = – , тоді

Розв’язками цього рівняння є вектори

при цьому число координат у векторів дорівнює n.

Доведемо, що вектори лінійно незалежні. Дійсно, якщо рівність

записати в скалярній формі, то вона виконується лише за умови

Доведемо, що будь-який розв’язок однорідної системи , є лінійною комбінацією векторів , тобто

Припустимо, що рівність не виконується, тобто

Знайдемо координати вектора :

Оскільки вектори і є розв’язками системи, то і вектор є розв’язком цієї системи:

Через те що , останні доданків дорівнюють нулю. Тоді

Оскільки вектори лінійно незалежні, остання рівність можлива лише при

тобто , доведено.

Таким чином, вектори утворюють базис підпростору розмірності .

Сукупність розв’язків однорідної системи утворює підпростір розмірності . Число рівнянь m збігається з розмірністю підпростору, в якому задано вектори. У цьому просторі максимальне число лінійно незалежних векторів може бути не більше m, ранг r≤m, а число невідомих n. Тобто система має нетривіальний розв’язок, якщо число невідомих більше числа рівнянь: n-m>0. Якщо ж число рівнянь m збігається з рангом матриці і дорівнює числу невідомих, то однорідна система має єдиний тривіальний (нульовий) розв’язок. Те саме спостерігаємо, коли в однорідній системі число рівнянь буде більше числа невідомих. Такі розв’язки називаються загальними розв’язками однорідної системи. Сукупність лінійно незалежних розв’язків системи називається фундаментальною системою розв’язків. Змінні називаються вільними, – базисними.

Приклад 6.3. Нехай дано однорідну систему рівнянь

в якій чотири невідомих і три рівняння. Якщо ввести вектори

то систему можна записати у вигляді

Виключимо з другого і третього рівняння . Для цього помножимо перше рівняння на λ і додамо до другого:

Поклавши , дістанемо

Аналогічно помножимо перше рівняння на λ і додамо його до третього:

Поклавши , дістанемо

Таким чином, маємо систему

Відкинувши третє рівняння, яке збігається з другим, дістанемо систему двох рівнянь. З другого рівняння знаходимо , а з першого

Вільними змінними тут є і , а базисними – і .

Поклавши , дістанемо вектор

а при дістанемо вектор

Вектори і лінійно незалежні. Тоді загальний розв’язок даної системи рівнянь можна записати у вигляді

Ці розв’язки складають лінійний підпростір розмірності n-r. У даному прикладі розмірність підпростору, який описано однорідною системою, дорівнює 2. Вектори і являють собою базис цього підпростору. Справедливо і обернене: кожний лінійний підпростір можна подати як сукупність розв’язків відповідно підібраної системи лінійних рівнянь.

У зв’язку з цим виникає ряд задач, пов’язаних з можливістю описання лінійною системою підпросторів. Одним із способів визначення розмірності підпросторів, що описані системою лінійних рівнянь, є метод Гаусса, який було використано у попередньому прикладі. Цей метод дає змогу визначити зразу число вільних змінних. Число вільних змінних дорівнює розмірності підпростору, який задано системою лінійних рівнянь. Ранг матриці, що задає однорідну систему, дорівнює різниці між числом невідомих і числом вільних змінних.

Теорема. Однорідна система, у якої однакове число невідомих і рівнянь, тільки тоді має ненульовий розв’язок, коли визначник системи дорівнює нулю. Якщо визначник цієї системи відмінний від нуля, то система має тільки нульовий (тривіальний) розв’язок.

Д о в е де н н я. Нехай дано систему

Однорідна система має ненульовий розв’язок, якщо число рівнянь (невідомих) більше за ранг матриці, тобто більше за порядок r базисного мінору (n>r), а це означає, що всі мінори r+1, r+2, …, n дорівнюють нулю. Це і є доведенням теореми.

Зазначимо, що у цьому разі серед рівнянь є такі, які являються наслідком інших (як у наведеному вище прикладі). У зв’язку з цим вводять поняття про незалежні рівняння.

Два рівняння називаються незалежними, якщо внаслідок лінійних операцій над рівняннями (додавання і множення на число) жодне з них не можна привести до іншого. Якщо в системі немає рівнянь, які являють собою лінійну комбінацію інших рівнянь цієї системи, то кажуть, що система складається з незалежних рівнянь. Число рівнянь при цьому збігається з рангом матриці. Метод Гаусса зручний тому, що при поданні системи у певній формі число рівнянь після відкидання тих, які повторюються, дорівнює рангу матриці.

Якщо внаслідок додавання якого-небудь рівняння до інших, помножених на деякі числа, дістають рівняння виду

то це означає, що система несумісна.

Прикла 6.4. Знайти базис і розмірність простору, який утворюється сукупністю розв’язків однорідної системи

Р о з в я ’ з а н н я: Друге і третє рівняння заданої системи є наслідком першого, тобто фактично задане одне незалежне рівняння

Ранг заданої системи r=1. Дійсно,

а всі мінори вищих порядків дорівнюють нулю.

Маємо три невідомих, n=3. Сукупність розв’язків системи утворює підпростір розмірності n-r=3-1=2. Вільних змінних у системі дві, а базисних – одна. Для визначення базису розв’яжемо рівняння відносно x:

Приймемо як вільні змінні y і z. Нехай вони набувають почергово значень 1, 0 і 0, 1. Дістанемо вектори

Ці вектори лінійно незалежні. Дійсно, доведемо що векторне рівняння

має єдиний розв’язок .

Запишемо рівняння у вигляді

Система має єдиний розв’язок

Відповідь. Сукупність розв’язків утворює підпростір розмірності 2, а базис утворюють вектори

Поиск по сайту: