Интегрирование некоторых типов иррациональностей

а) Если в подынтегральном выражении с блоком и аргументом х выполняются лишь арифметические действия, то вводится новая переменная , откуда затем выражается х и вычисляется .

б) Если арифметические действия выполняются над блоками , ,... и аргументом х, то переменная t вводится по формуле , где N – наименьшее общее кратное чисел m, n,...; далее поступаем как в п. а).

Полученные в п. а), б) интегралы – интегралы рациональных функций переменной t.

Пример. .

Решение. Имеем интеграл типа 3.1.7, б). Общее наименьшее кратное показателей корней . Следовательно , а тогда . Значит

в заключительном звене цепочки равенств .

3.1.8.Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений.

а) Интеграл вида - целые. Если (нечетно), то .

Положим , тогда

и имеем интеграл от многочлена или типа 3.1.6. Аналогично поступаем в случае нечетного n. Если m, и – четны, то упрощаем интеграл с помощью формул понижения степени

, .

Примеры.

1)

.

Использованы приемы интегрирования 3.1.8, а) и 3.1.4, в).

2.

.

Полагая , имеем

.

б) Универсальная тригонометрическая подстановка

применяется, если подынтегральное выражение содержит только арифметические действия над и ; при этом получаем интегралы типа 3.1.4, 3.1.6.

Пример. .

Положим ; согласно формулам п.б)

.

3.1.9Тригонометрические подстановки при интегрировании некоторых иррациональностей.

а) Если подынтегральное выражение содержит только арифметические действия над х и , то применяется замена (или ), после чего , .

б) Если та же ситуация с х и , то полагаем (или ), тогда , .

в) В случае же х и полагаем (или ), тогда , .

Пример. .

Решение. Имеем выражение типа 3.1.9, а). Положим (следовательно, ), тогда (для определенности выбран знак плюс при извлечении корня), . Тогда

( и выражены через х из ранее записанных соотношений).

3.1.10 Рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов интегрируемых элементарных функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегрирования сложнее по сравнению с дифференцированием. Не существует общего универсального метода интегрирования, поэтому возможности алгоритмизации в данном разделе математики весьма ограничены. Необходимы определенные навыки и изобретательность, которые приобретаются на практике в результате решения большого числа примеров.

Возникает вопрос о возможности вычисления интеграла от любой элементарной функции. Все элементарные функции дифференцируемы и их производные снова являются элементарными функциями. Об интегрировании функций это сказать нельзя. Существует немало элементарных функций, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции (говорят: «не интегрируются в конечном виде»), например: и др.

Подчеркнем, что эти интегралы существуют, но они определяют функции, не являющиеся элементарными.

Было бы ошибочно считать, что «неберущиеся» интегралы являются экзотикой, придуманной математиками. К «неберущимся» интегралам приводят многие теоретические и практические задачи теории вероятностей, статистики, механики и др.

3.1.11 Задачи для самостоятельного решения. Найти следующие неопределенные интегралы

1.	а)	б)
	в)	г)
2.	а)	б)
	в)	г)
3.	а)	б)
	в)	г)
4.	а)	б)
	в)	г)
5.	а)	б)
	в)	г)
6.	а)	б)
	в)	г)

7.	а)	б)
	в)	г)
8.	а)	б)
	в)	г)
9.	а)	б)
	в)	г)
10.	а)	б)
	в)	г)

11.	12.	13.
14.	15.	16.
17.	18.	19.
20.

Поиск по сайту: