Длина дуги линии

а) Если линия L задана в декартовой системе координат уравнением , то длина ее дуги, соответствующей значениям (см. рис. 3.4.2) вычисляется по формуле

.

б) Дуга заданной параметрически линии

в случае имеет длину

(предполагается монотонность на отрезке ).

в) Частным случаем п.б) является задание линии в полярной системе координат уравнением . В этом случае

.

Длина дуги, соответствующей , определяется по формуле

.

Пример 1. Найти длину дуги линии.

.

Решение. График функции изображен на рис. 3.4.6. Заметим, что .   Следовательно, согласно 3.4.2 а), имеем

Рис. 3.4.6

.

Пример 2. Найти длину дуги линии.

.

Решение. Линия замкнута, так как - –периодические функции. В результате построения по точкам получаем кардиоиду (рис. 3.4.5); достаточно найти длину ее половины, соответствующей изменению t от 0 до , при этом используем формулу 3.4.2 б). Имеем:

;

.

Далее,

.

Поэтому

.

Следовательно, .

Рис. 3.4.8

3.4.3. Объем тела вращения. Тело, образованное вращением вокруг 0 x криволинейной трапеции, ограниченной осью 0 x, прямыми и графиком ( при ), имеет объем (рис. 3.4.8) .

Пример. Найти объем тела, образованного вращением криволинейного треугольника вокруг оси 0 x, если треугольник ограничен осью 0 x, прямой и графиком .

Решение. Имеем

.

Поиск по сайту: