АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Читайте также:
  1. Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы
  2. Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы
  3. Интегралы второго
  4. Интегралы второго рода .
  5. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Координатные линии и поверхности. Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
  6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.5.1. Пусть сила перемещает материальную точку М из начала дуги – точки А, в конец – точку В (рис. 3.5.1).

 

Задача о вычислении работы силы F (совершаемой вдоль линии L) приводит к рассмотрению, так называемого, криволинейного интеграла по координатам   . Рис. 3.5.1

Он строится по схеме, приведенной выше, как предел интегральной суммы скалярных произведений вектора силы с вектором "элементарного" (малого) перемещения .

3.5.2. Пусть дуга АВ расположена в области D, где P и Q – непрерывные функции. Если линия L имеет параметрические уравнения

 

,

 

причем положение точки А соответствует значению , положение B – , то

. (3.5.1)

 

Если же уравнение линии L – , причем и – абсциссы соответственно точек А и В, то

. (3.5.2)

3.5.3. Смысл формул (3.5.1), (3.5.2) состоит в том, что выражение для х и у из уравнений линии подставляем в подынтегральное выражение (при этом вычисляем дифференциалы и ), после чего производим интегрирование в границах изменения параметра.

Пример 1. Вычислить

вдоль дуги АВ астроиды

,

если точке А соответствует значение параметра , точке В – .

 
 


Рис. 3.5.2

 Решение. Линия, вдоль которой производится интегрирование, изображена на рис. 3.5.2; в нашем случае имеем дугу, расположенную в первой четверти (направление обхода от А к В указано стрелкой). Заметим, что ;

.

Значит

 

 

Рис. 3.5.3 Пример 2. Вычислить работу силы по перемещению материальной точки вдоль контура из начального положения 0 с абсциссой в положение В с абсциссой (рис. 3.5.3). Решение. Имеем координаты вектора :   .

Согласно 3.5.1 достаточно вычислить

.

Подынтегральное выражение в случае есть

.

Следовательно, при х, изменяющемся от до , имеем

.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.322 сек.)