Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Координатные линии и поверхности. Полярные, цилиндрические и сферические координаты

Криволинейная система координат — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Применяются обычно на плоскости () и в пространстве (), где n –размерность пространства (равно числу координат). Пусть -область евклидова пространства E. x,y,z- декартовы координаты в этом пространстве. -область евклидова пространства , декартовы координаты . Рассмотрим однозначное и взаимно непрерывное отображение области на область , которое осуществляется посредством функций:

В области вводятся криволинейные координаты . Точка M определяется тройкой чисел . Если фиксированы какие-либо координаты (например ), то при переменном эти соотношения определяют в области некоторую линию, отличную от прямой – это координатная линия . Производные вычисленные в точке M, представляют собой координаты вектора касательной к линии в этой точке (вектор ).

Цилиндрическая система координат , . Таким образом, , . (, , . Эти неравенства определяют на евклидовом пространстве бесконечную область . Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (), и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (). Координатные линии – линии пересечения этих поверхностей.

Сферическая система координат: , . , . Координаты тоже : (, , . Координатные поверхности: сферы с центром в начале (), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (θ=const). Координатные линии – линии пересечения этих поверхностей.

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ – расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ – угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Координатные линии в полярных системах – окружности с центром в полюсе и лучи. , .

Поиск по сайту: